2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习学案平面向量的数量积及其应用.doc

学案27　平面向量的数量积及其应用 导学目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 自主梳理 1．向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a|cos〈a，b〉叫做向量a在b方向上的投影． (2)向量数量积的性质： ①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝__________________； ②非零向量a，b，a⊥b?________________； ③a·a＝________________或|a|＝________________； ④cos〈a，b〉＝________； ⑤|a·b|____|a||b|. 2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝________； (2)分配律：(a＋b)·c＝________________； (3)数乘向量结合律：(λa)·b＝________________. 3．向量数量积的坐标运算与度量公式 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝________________________； (2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b?________________________； (3)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 则|a|＝________________，cos〈a，b〉＝____________________________. (4)若A（x1，y1），B（x2，y2），则|＝________________________，所以||＝_____________________. 自我检测 1.（2010·湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,则·等于 (　　) A．－16 B．－8 C．8 D．16 2．(2010·重庆)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝ (　　) A．0 B．2 C．4 D．8 3．(2011·福州月考)已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，(a＋λb)⊥b，则λ等于 (　　) A．－2 B．2 C. D．－ 4.平面上有三个点A（-2，y），B（0，），C（x，y），若⊥，则动点C的轨迹方程为________________． 5.（2009·天津）若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________. 探究点一　向量的模及夹角问题 例1　(2011·马鞍山月考)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|； （3）若＝a，＝b，求△ABC的面积． 变式迁移1　(1)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是 (　　) A．1 B．2 C. D. (2)已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________． 探究点二　两向量的平行与垂直问题 例2　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且ka＋b的长度是a－kb的长度的倍(k0)． (1)求证：a＋b与a－b垂直； (2)用k表示a·b； (3)求a·b的最小值以及此时a与b的夹角θ. 变式迁移2　(2009·江苏)设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b. 探究点三　向量的数量积在三角函数中的应用 例3　已知向量a＝， b＝，且x∈. (1)求a·b及|a＋b|； (2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值． 变式迁移3 （2010·四川）已知△ABC的面积S=··＝3，且cos B＝，求cos C. 1．一些常见的错误结论： (1)若|a|＝|b|，则a＝b；(2)若a2＝b2，则a＝