2015年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题 .docVIP

2011年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题 参考解答及评分标准 一、选择题（每小题6分，共36分） 1、选C. 解：由导数的知识可知：A={x|x2-12x+20≤0}＝{x|2≤x≤10},又， ∴当x∈A时，易知： ∴f(x)在区间[2,10]上为增函数而可求得f(2)0,f(10)0, ∴方程f(x)＝0在区间[2,10]上有且仅有一解即集合B中仅有一个元素的正方形的四条边构成. 将变形为，所以集合B是由四条直线构成。 欲使为正八边形的顶点所构成的集合，只有或这两种情况。 （1）当时，由于正八边形的边长只能为2，显然有，故 （2）当时，设正八边形边长为，则，这时 综上所述，的值为或. 3、选C. 解：由线性约束条件画出可行域如图所示，目标函数，化为 . 结合图形可知，目标函数的图象过点时，最大. 将点代入目标函数得的最大值为4. 4、选D. 解：设动点、，则. 于是，点的轨迹是直线，点的轨迹是双曲线，双曲线上的任一点到直线的距离为 . 当时，上式等号成立. 故的最小值为. 5、选C. 解：设事件A为“取到的数能被6整除”，事件B为“取到的数能被4整除”. 由，知 . 而6与4的最小公倍数为12， ，所以，恰有166个数既能被6整除又能被4整除，即 . 因此，所求概率为. 6、选A 解：因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线与第二个椭圆相，方程恰有个实数解将代入得由，于是. 二、填空题（每小题9分，共54分） 1、 24 . 解：令，则. 故原不等式. 作 ，则是减函数，从而由，可得，故 ，其中整数解的个数为24. 2、 0 . 解：由 ，可知自第8项起每三个相邻的项周期地取1,1,0故 . 3、 2 . 解：不妨设三个顶点中B、C两点在轴的右侧（包括轴），且C点在B点右侧. 设、、，BC的斜率为，则有，将，，代入上述方程组，得 ，. 又由|AB|=|BC|，即 ，得 ，即，且有. 从而正方形边长为： 当且仅当时，即B点为原点时，等号成立. 故正方形的面积的最小值为2. 4、. 解：（1）若实数，则必为实数，此时或-2. 当时，有，解得或4；当时，有，方程无实数解. （2）若实数，则必为虚数，，由，得 ，解得. 因此，实数的值为1,4，. 5、 . 解：根据题设，用三垂线定理可证，即平面ADC. 所以可在中作斜边AD上的高CH，由，得平面ABD. 易求得， ，，所以 . 6、 . 解：由离心率为，可设椭圆方程为，该椭圆上任意一点的坐标为，于是 . 若，则，从而当时，有最大值. 由题设得 ，解得 . 故所求椭圆方程为 . 三、解答题（每小题20分，共60分） 1、解：最多有两个不同的整数使. 如，当和时，成立. ……………………………………5分 否则，假设有三个不同的整数，使以下三式成立： ，，. 而，因而中至少有两个在的同一侧，不妨设. 因，所以.……………………10分 又因，所以在上是增函数，从而. 于是由，有，即 ① 又 ，即 ② ①+②，得 . ……………………………………15分 另一方面，因，即，于是，由，有 . 因此，可得，与矛盾. 假设有多于3个的不同整数使成立，则其中至少有2个在的同一侧，从而同样可推出矛盾. 因此，最多有2个不同的整数使成立. …………………………20分 2、证明：（1）作高AH，则由△BDP∽△BAH，得 . 又由△CDQ∽△CAH，得. …………………………5分 而由AD平分，得. 由. 于是，有 . 由Ceva定理，可知 AH、BQ、CP交于一点，故AH过CP、BQ的交点K. 所以AK与AH重合，即. ……………………10分 （2）记AH与DQ交于点T，则. ……………………15分 又，所以，从而有 ， 即， 结论得证. ……………………………………20分 3、解：. ………………5分 首先证明：方格表的所有网格线可以被2013个矩形的边所覆盖. 事实上所有水平的网格线可以被1006个矩形及一个矩形边所覆盖；所有竖直的网格线可以被1006个矩形及一个矩形边所覆盖，故. ………………………………10分 其次，假设方格表的网格线按题意，被个矩形的边所覆盖，接下来证明. 称一个矩形上面（下面）的边为头（脚）.对