“数学的有机统一是数学科学固有的特点”.pdfVIP

维普资讯 V o】．4．N0．3 懿差差 THEM cs 7 Sep ，200l s丁u[)】EsI “数学的有机统一是数学科学 固有 的特点” 张恭庆 (北京大学数学科学学院，北京，100871) 召开学术会 议 当然是为了学术交流 对数 学家来 说 ，面对 面 的学术 交流 比起 其 它学科 更为重 要 。正 因为 如此 ，数学方面的 国际会 议很多 ，各种 各样 的专题会 议 ，分科会 议每 年不下数百个 。然 而 国际数学家太会从 一开始就确 定了它的方针 ：这个 太会 必须包含数 学的一切 分支 ，并且提供机会使 所有 数学分支的带头人能够 聚集一堂 ，交流思想 ，总结现状 ，探讨今 后前进的方 向。 早在 1900年希尔伯特在 巴黎 太会上就 明确指 出：“我们 面临 的问题 是 ：数学会 不会遭 遇到象其 它有些科 学长 期 以来经历 的那样 的厄运 ，被 分割成许 多孤立 的分支 ，它们 的代 表人物 很难相 互理 解 ，彼此 之间的关系变 得更加松散 。我从 不相 信 ，也不希望会是这样 我认 为数 学科学是 一个 不可 分割的有机整体 ，它的生命 力依赖 于各个 部分 的联 系 。……数学 的有机 的统一是这 门科学 固有 的特 点 ，因为它是一切精确 自然科学知识 的基础 。”一百年来数 学发展 的历 史证实 了希尔伯 特的名 言。 数学一开始 就是研究 “数”和 “形 ”的 。从 古希 腊时期起 ，人们就 已试 图把它们统一起 来 。目标 虽 未能完全达 到 ，但 却找 到 了两者之 问的种 种联 系 ，推动 了数学 的发展 。17世 纪笛 卡尔 的解析 几何 可 谓是这二者 结台 的典范 ，用 “数”研究 “形 ”，引进 了坐标 ，也 引进 了变量 数学 。后者 为牛顿 (Newton)， 莱布尼兹 (Ieibniz)发 明微积分 ，以及 18、19世纪数学 的空前太发展作 了准备 。此后 ，一方面t数学 被 广泛应用 于天文 、力 学和物理 ，另一方 面 ，数 学 自身又发展 出许许 多多新 的分支。群论 、非 欧几何 的发现和数学分析的严格化 ，体 现了数学 内部 的推动力对于数 学乃 至人类文 明的发展有着 巨太 的 影 响。从此 ，数学更加 多样 化 了 然 而对数学统一性 的追求 一刻也没有停止 过 。用 算术 、几何和逻 辑 统一数学 的企 图都分别失破 了，但在追 求这 统一性 的过程 中，数 学 内部 的千丝 万缕 的联系 却被愈 理愈清晰 到车世纪 ，由希尔伯特经过法 国布尔巴基 (Bourbaki)学派发现 ，利用这些联系和公理化 方法可 以从规定 的几条公理及其相关 的一套演绎推理 中提炼 出数学 “结构 ”，如代数结构 、拓扑结 构 、测度结构与序结构等等 数学的不同分支是 由这些不 同的结构组成 的 ，而这 些结构之 间的错 综 复杂的联系叉把所 有 的分支连成 一个 有机 整体 如果把 数学 比作 一棵浓 荫茂密 、百枝伸 展的太 树 ， 那 厶／布 尔 巴基 学派 理清 了这 些花 、果 、叶 、枝 、节、干和根之 间 的关联 ，在 这方 面 反映 了数学 的统一 性 。 时至今 丑，数学 已经发展成为一个庞大 的理论体系 ，其应用触角几乎伸 向了一切科学技术领 域 。然而 ，“从具有共 同的工具和洞察力这个 意义上看 ，数 学仍是 一个 单一 的学科 ”，是 一个统一的整 体 。它一方 面表现在分属不 同分支 、看来 完全不相干的概念 之间的联 系不断地被 发现 ，而这 些联 系 叉 成为数学科 学进 一步 发展 的基石 ，例 如霍奇 (Hodge)定理 ，阿蒂亚一辛格 (AtiyahSinger)指标 定 理等揭示 了流形 的拓扑不变量及 其上微分算子 的分析不变量之 间的关 系 ；另一方 面 ，还表 现在不 同 分支的交织 与渗透形成解决 问题 的强有力的工具 ，尤其是 一些重 大 问题 的突破往 往来 自意想 不到 的不 同分支 的结台 ，例如 ，在 四维流形上存在着不 同的微分结构这一发现 ，竞来 自物理学规范场论 - 奉文是张恭庆 院士 《国际数学家大会与我们 ；c原载 中国数学会通汛n姻9年第 4期)一文2．--、。数学 的坑一性 ·术刊 改用