第50届国际数学奥林匹克竞赛试题(中文版)与参考答案.pdfVIP

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2015-07-25 发布于云南
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第50届国际数学奥林匹克竞赛试题(中文版)与参考答案.pdf

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蕴秀斋 2009 年第50 届IMO 解答 2009 年7 月15 日 1、n 是一个正整数，a , a ,...,a (k ≥2) 是{1, 2,...,n}中的不同整数，并且n a (a −1) 对 1 2 k i i+1 n 于所有i 1, 2, ...,k −1都成立，证明：a (a −1) 不能被整除。 k 1 n 证明 1：由于n a (a −1) ，令(n, a ) p ，q 也是整数，则n p q ，并且p a ， 1 2 1 1 p q a −1 。因此(q, a ) 1，由于n pq a (a −1) ，故q a −1；同理可得q a −1 ，。。。， 2 2 2 3 3 4 因此对于任意i ≥2 都有q a −1，特别的有q a −1，由于p a ，故n pq a (a −1) (*) 。 i k 1 1 k 若结论不成立，则n pq a (a −1) ，与(*)相减可得n (a −a ) ，矛盾。 k 1 k 1 综上所述，结论成立。此题平均得分：4.804分上善若水蕴秀斋 ∆ABC O 2 、外接圆的圆心为，P ,Q 分别在线段CA, AB 上，K ,L ,M 分别是BP ,CQ, PQ 的中点，圆Γ过并且与相切。证明：。 K ,L ,M PQ OP OQ A P M K Q O L C B 证明：由已知 ∠MLK ∠KMQ ∠A QP ， ∠MKL =∠PML =∠APQ ，因此 AP