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例说利用均值不等式求最值的几种技巧 沈亚妹 （绍兴市中等专业学校 312000） 在现行中学数学中，利用均值不等式求函数最值的问题，是一类值得重视的常用方法。但学生在利用均值不等式求最值时，常常因为取不到等号，以致解题受阻。所以在解题过程中需要对函数进行适当的变形。由于在变形过程中常要用到某些特定的技巧，因而形成难点。本文拟就此介绍几种常用的技巧。 一、乘方后使用均值不等式 将所得出的正函数平方，立方，……，n 次方，然后再使用均值不等式求解。 例1 已知，求函数 的最大值。(94年全国数竞题) 解： = = 当且仅当 即时取到等号。 所以 y 的最大值为 有一浮标由三部分组成，一个圆筒和两个相同的圆锥，其中每一个圆锥的高等于圆筒的高，问当表面积一定时，什么形状会有最大体积？ （第一届普特南数竞题） 解：设圆筒的半径为 , 高为 ，那么 即 利用五个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数即可求得最大体积。 当且仅当， 即时取到等号。 此时进一步有 。 二、 引参后使用均值不等式 有些和（积）不为常数的函数求最值时，可通过引入参数后，再使用均值不等式求解。 例3 求函数 的最小值。 解：引入待定参数、，且+，则有 当且仅当 且 时取到等号，此时 ， 所以当时，有最小值为 例4 求函数在区间（,1）上的最大值和取到最大值时的的值。(第十二届希望杯竞赛题) 解： 引入两个正实数后利用均值不等式 当且仅当 且 时取到等号。 此时， ， 所以当时，有最大值为 三、连续使用均值不等式 有些函数在求最值时，需要几次使用均值不等式进行放缩才能达到目的。放缩时要保证几个等号能同时成立。 例5 在三棱锥一个顶点处的三个面角都是直角，求它的外接圆半径和内切圆半径的最小值 （86年江苏竞赛题） 解：设直角顶点处三条棱长分别为 那么由立体几何知识易知： 所以 = = 当且仅当时取到等号，所以的最小值为 例6 设，且，试求的最小值。 （第35届IMO试题改编） 解： = = 三式相加得： = 当且仅当时取到等号， 所以 y 的最大值为