命题与逻辑讲义.docVIP

学生： 科目： 第 阶段第 次课 教师： 课 题 逻辑联结词与四种命题 典型例题 例1．已知复合命题形式，指出构成它的简单命题， （1）等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底边， （2）垂直于弦的直径平分这条弦且平分弦所对的两条弧， （3） （4）平行四边形不是梯形 解：（1）P且q形式，其中p：等腰三角形顶角的角平分线垂直底边， q：等腰三角形顶角的角平分线平分底边； （2）P且q形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦， q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧 （3）P或q形式，其中p：4＞３，q：４＝３ （4）非p形式：其中p：平行四边形是梯形。 练习1（变式1）分别写出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题 （1）p：是有理数，q：是无理数 （2）p：方程x2+2x-3=0的两根符号不同，q： 方程x2+2x-3=0的两根绝对值不同。 例2．（四种命题之间的关系）写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。 （1）若q1，则方程x2+2x+q=0有实根，（2）若ab=0，则a=0或b=0，（3）若x2+y2=0，则x 、y全为零。 解：（1）逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根，则q1，（假） 否命题：若q≥1，则方程x2+2x+q=0无有实根，（假） 逆否命题：若方程x2+2x+q=0无实根，则q≥1，（真） （2）逆命题：若a=0或b=0，则ab=0，（真） 否命题：若ab≠0，则a≠0且 b≠0，（真） 逆否命题：若a≠0且 b≠0，则ab≠0，（真） 　（3）逆命题：若x 、y全为零，则x2+y2=0（真） 否命题：若x2+y2≠0，则x 、y不全为零（真） 逆否命题：若x 、y不全为零，则x2+y2≠0（真） 练习2（变式2）判断下列命题的真假，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假 （1）若ab≤0，则a≤0或b≤0, （2）若ab，则ac2bc2 （3）若在二次函数y=ax2+bx+c中b2-4ac0，则该二次函数图象与x轴有公共点。 例3．反证法的应用 已知函数f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，a,b∈R对命题“若a+b≥0则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)” (1)写出逆命题，判断其真假，并证明，(2)写出逆否命题,判断其真假，并证明。 解：（1）逆命题：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)，则a+b≥0（真） 用反证法证明：假设a+b0，则a-b b-a, ∵f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则f(a)f(-b)，f(b)f(-a) ∴f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)与题设矛盾，所以逆命题为真。 （2）逆否命题：若f(a)+f(b) f(-a)+f(-b)，则a+b0为真命题。 因为命题它的逆否命题，所以可证明原命题为真命题即可，从略。 例4．已知命题：方程有两个不相等的实负根，命题：方程无实根；若或为真，且为假，求实数的取值范围． 分析：先分别求满足条件和的的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论． 解：由命题可以得到： ∴ 由命题可以得到： ∴ ∵或为真，且为假 ∴有且仅有一个为真 当为真，为假时， 当为假，为真时， 所以，的取值范围为或． 例5．已知函数对其定义域内的任意两个数，当时，都有，证明：至多有一个实根． 解：假设至少有两个不同的实数根，不妨假设， 由方程的定义可知： 即① 由已知时，有这与式①矛盾 因此假设不能成立 故原命题成立． 注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题． 例6．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程：有有理根，那么中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ） A.假设都是偶数 B.假设都不是偶数 C.假设至多有一个是偶数 D.假设至多有两个是偶数 知识概括、方法总结与易错点分析 1．命题：可以判断真假的语句叫做命题 2．逻辑联结词：“或（∨）”、“且（∧）”、“非（┐）”这些词叫做逻辑联结词。 或：两个简单命题至少一个成立 且：两个简单命题都成立， 非：对一个命题的否定 3．简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。 4．表示形式：用小写的拉丁字母p、q、r、s…来表示简单的命题， 复合命题的构成形式有三类：“p或q”、“p且q”、“非p” 5．真值表：表示命题真假的表叫真值表；复合命题的真假可通过下面的真值表来加以判定。 p q ┐p P∨q P∧q 真 真 假 真 真 真 假