澄清对一道题解的疑惑.doc

澄清对一道题解的疑惑 物理组 陈光红  北京大学物理系舒幼生教授著的《中学奥林匹克物理》注一书中28页的题10, 其解答的正确性自该书面市来就受到不少读者怀疑, 可疑者又没能给出另外的正确解法以确认或否定原来的解法, 处于“自古华山一条道”的境地. 致使多年来新老读者对该题的解答一直处于将信将疑的迷惑之中, 至今未决. 本文对该题给出一种新的解法, 以消除多年来读者存在的疑虑. 原题如下: 在某铅垂面上有一光滑的直角三角形细管轨道，光滑小球从顶点A处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C处所需的时间恰好等于小球从顶点A处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C所需的时间. 这里假设两直角轨道交接处B有极少的圆弧，可确保小球无碰撞地拐弯，拐弯时间可忽略不计. 且设AB为铅垂轨道, BC为水平轨道. 在此直角三角形范围内可构建一系列如图1 虚线所示的光滑轨道, 每一轨道是由若干铅 垂与水平部分交接而成，交接处有极小圆弧 (作用同上), 轨道均从A点出发到C点终止， 且不越出该直角三角形边界, 试求小球在各条轨道中, 由静止出发自由地从A点滑行到C点所经时间的上限与下限之比值. 为说明方便, 现将原题解答略作删节后摘录如下. 解: 直角三角形AB、BC和CA的长分别记为L1、L2和L3, 如图2所示, 小球自A到B所经的时间设为T1, 再从B到C的时间设为T2, 而从A直接由斜边到C所经时间设为T3, 则可建立如下方程: L3sin( = ( L1) = L3cos( = ( L2) = (gT1)T2 L3= T1 +T2 = T3 由以上四式可解得: L1:L2:L3 =3:4:5, cot( = , 小球在图1所示的每一虚线所示轨道中, 经各铅直段所需时间之和为 t1 = T1 若水平部分有n段, 小球在各段中所经时间分别记为(t(i) , i可为1、2、3 …… n, 那么所需的时间之和为 t2 = 小球从A到C所经时间总和为 t = t1 + t2 =T1+ t2 T1为定量， 故t的下限对应t2的下限, t上限对应t2的上限. 各水平段内的运动分别是匀速运动, 同一水平段路程放在低处小球运动速度大, 所需时间少. 因此所有水平段均处在最低位置(即BC重合)时t2最小, 故有 (t2)min =T2 即t的下限为 tmin= T1 +T2 =T1 += t2的上限显然对应各水平段放在各自可达到的最高位置. 实现它的方案是: 铅直段每下降无限小量(L1便连接一段水平量(L2 =, 使其到达直角三角形区域的斜边边界, 而后再下降一无限小量并接一段相应水平段量. 如此继续下去, 构成如图3所示的微齿形轨道. 由于(L1、(L2均为无限小量, 小球在其中的运动可处理为匀速率运动, 分别所经的时间(t1(i)与(t2(i)有如下关系: (1) 于是 (t2)max = 即得t的上限为 tmax =T1 + (t2)max = T1 +T1cot( = 这样题文所求比值便为 tmax: tmin= 题解中时间上限的求法, 著者采用微元法的思想: 把小球在铅直段小量(L1与紧接的水平段小量(L2中的运动都看作是相同速率的匀速率运动, 从而得出题解中的(1)式. 读者的疑问正是这里. (1)式意味着小球在各个齿中通过水平量(L2和铅直量(L1的运动时间之比(t2(i) :(t1(i ) 恒等于4/3, 这是个难以置信的结果, 因为小球在各个铅直量(L1中是匀加速运动, 在各个水平量(L2中是速率不同的匀速率运动, (1)式怎么会成立? 进而怀疑上述微元法把小球在(L1、(L2中的运动处理为等速率运动是否可行? 但又没有否定它的理由, 致使多年来一届又一届的学生提出这个疑问, 也使不少教师一直处于疑惑之中. 能有所作为的, 便是寻找新的解法来检校原解答的正确与否. 在此, 下文用极限理论中“夹挤定理”这一数学工具, 给出时间上限的另一种求法, 权作原解答正确性的佐证. 设图3中齿形轨道铅直段和水平段各有n段, 每一铅直段长记为(L=, 每一水平段长记为(L(=. 则小球到达各铅直段下端的速率依次为: , , , …… , 小球在各铅直段运动所经的时间之和显然是 t1=T1= 小球在各水平段运动所经的时间之和是 = = = 当齿形轨道段数n→ ( 时, t2n的极限值是