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基于能量优化的三次B样条曲线拟合 何芳 (武汉理工大学理学院 湖北 武汉430070) 摘 要 利用三次B样条函数进行曲线拟合，并在能量法的基础上对其进行光顺处理。实例表明，由此得到 的拟舍曲线在满足约束条件下有较好的整体光顺性。 关键词 三次B样条曲线 能量优化 曲线光顺 中图分类号TP391 文献标识码A 曲线光顺是CAD／CAM的关键技术之的最大偏移量小于给定的值)．调整曲线的 采用罚函数法．将其近似转化为如下无约 一．国内外许多学者对此作了大量研究，提 控制顶点．使得曲线的应变能达到最小。能 束的优化问题求解： 出了很多光顺方法．诸如节点删除与插人 量法光顺的关键是：能量函数的确定；优化 问题的求解。 ‘ 法、Kjellander法、能量法及最小二乘法等。 Ⅻ 其中．能量法是一种整体优化方法．即将曲 在能量法光顺中．通常将曲线看作弹 (D—D0)个v(D—Do) (10) 线的所有控制顶点作为未知量．通过优化 性样条．采用弹性样条的应变能作为曲线 其中，D。是原曲线的控制顶点向量；a 问题进行求解。由于其光顺效果好．成为人 的能量函数。对于曲线p(u)，能量函数的和B；(i--o，1，L，n)为事先指定的非负常数， 们普遍采用的一种曲线光顺方法。本文利 取法通常有以下几种形式： 用三次B样条函数进行曲线拟合．并在能 Ec：Ik2ds (4) 量法的基础上．对其进行光顺处理。实例表 的对角矩阵。 明．由此得到的拟合曲线在满足约束条件 Ec=J(詈yds (5) 为使最小，令苦0，得： 下有较好的整体光顺性。 Ee=J(，(u))2du (6) (V+aM)D=VD0 (11) 1 B样条曲线 J 求解线性方程组(11)，即得优化问题 其中，k为曲线p(u)的曲率。 给定插值于型值点列{pi}(i=o，l·，L，n) 利用上面三种能量函数进行光顺的效 的参数k次B样条曲线为： 果基本一致，但前两式的计算量较大．因 正定矩阵。因此方程组(11)的解存在且唯 此，目前在曲线光顺处理中，一般选用(6) P(u)=∑diNi，k(u) (1) 一o 卸 式作为曲线的能量函数。 2．2算法的具体步骤及实例 其中，aj0o，I，L，n+k一1)是控制顶点；现针对三次B样条曲线．采用(6)式作 给定允许的最大容差e．则利用三次B Nj．k(u)是由节点矢量luj}(i=0，1，…，n+2k)为曲线的能量函数．给出用控制顶点表示 确定的k次B样条基函数．采用DeBoor—的能量函数的表达式。将(3)式代入(6)式， Cox递推公式多项式给出。基函数的表示：经过简单的推导可得： 忙{6萋趁勖妯w E。=D1_McD (7) 其中，D=Edo，d．，L，d。]’是由未知控制 {Nj．Ru)．嵩等‘Nj小)+毒篝导哪“u) 顶点构成