不等式恒成立的解法归纳.pdfVIP

专注数学 关注高中、中考、小升初 不等式恒成立的解法归纳 不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗 透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生 对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策略作一 些探讨． 1 最值法 例1．已知函数f (x) ax4 ln x +bx4 −c(x 0) 在x 1处取得极值−3 −c ，其中 a,b,c 为 常数．（I ）试确定a,b 的值；（II ）讨论函数f (x) 的单调区间；（III ）若对于任意x 0 ，不 等式f (x) ≥−2c2 恒成立，求 的取值范围． c 分析：不等式f (x) ≥−2c2 恒成立，可以转化为f (x)min ≥−2c2 解：（I ）（过程略）a 12,b −3 ． （II ）（过程略）函数f (x) 的单调减区间为(0,1) ，函数f (x) 的单调增区间为(1,+∞) ． （III ）由（II ）可知，函数f (x) 在x 1处取得极小值f (1) −3 −c ，此极小值也是最小值．要 2 2 3 使f (x) ≥−2c （ ）恒成立，只需−3 −c ≥−2c ，解得c ≥ 或 ． x 0 c ≤−1 2 3 所以c 的取值范围为(−∞,−1] ∪[ ,+∞) ． 2 评注：最值法是我们这里最常用的方法．f (x) ≥a 恒成立⇔f min (x) ≥a ；f (x) ≤a 恒成立 ⇔f max (x) ≤a ． 2 分离参数法 2 2 x 例2 ．已知函数f (x) ln (1+x) − 1+x （I ）求函数f (x) 的单调区间； 1 （II ）若不等式(1+ )n+a ≤e 对于任意n ∈N ∗都成立（其中 是自然对数的底数），求 e a n 的最大值． 1 分析：对于（II ）不等式(1+ )n+a ≤e 中只有指数含有 ，故可以将函数进行分离考虑． a n 更多精品资料尽在华芳教育/ 1 专注数学 关注高中、中考、小升初 解：（I ）（过程略）函数f (x) 的单调增区间为(−1,0) ，f (x) 的单调减区间为(0,+∞) 1 1 1 （II ）不等式(1+ )n+a ≤e 等价于不等式(n +a) ln(1+ ) ≤1 ，由于1+ 1 ，知 n n n 1