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“abc猜想”简捷证明 王若仲 （王洪） 贵州省务川自治县实验学校 贵州564300 摘要：“abc猜想”最先由英国数学家大卫·马瑟（DavidMasser)和法国数学家乔瑟夫 ·奥 斯达利 （JosephOesterlé）于1985年彼此独立提出。它说明对于任何ε＞0,存在常数kε ＞0，并对于任何三个满足a+b＝c 以及a和b互质的正整数a，b，c。有：c＜k rad(abc)1+ ε ε,rad(abc)表示(a ·b·c)中无重复质因数的积。首先我们来解读 “abc猜想”:对于任何三 个满足a+b＝c的正整数a，b，c；说明正整数a，b，c是均在有穷范围内的任何三个正整 数。原因是如果a和c均为无穷大或者b和c均为无穷大或者a和c 以及b均为无穷 ，这 样的话，那么 “abc猜想”无实在意义。根据解读的情形，那么 “abc猜想”就有一种更为 简捷的证明方法，这种证明方法很直观，让人易懂明了。这种证明方法也就是转换为证明有 穷范围内的任何两个正整数a和c，而正整数b则由等式a+b＝c确定，对于任何ε＞0,存 1+ ε 在常数k ＞0，有：c＜k rad[a(c-a)c] , rad[a(c-a)c]表示[a ·(c-a)·c]中无重复质因 ε ε 数的积。 关键词：abc猜想；奇数；奇质数；质因数 中图分类号：0156 引言 “abc猜想”最先由英国数学家大卫·马瑟 （David Masser） 法国数学家 乔瑟夫 ·奥斯达利 （JosephOesterlé）在1985年提出，一直未能被证明。其名 字来自把猜想中涉及的三个数字称为a，b，c 的做法。它说明对于任何ε＞0,存 在常数k ＞0，并对于任何三个满足a+b＝c 以 a和b互质的正整数a，b，c。 ε 1+ε [1] 有：c＜k rad(abc) ,rad(abc)表示(abc)中无重复质因数的积。 如：rad(36) ε =rad(2×2×3×3)=2×3=6。 “abc猜想”证明 定理1:任何三个满足a+b＝c 以 a和b互质的正整数a，b，c。对于任何 1+ε ε＞0,存在常数k ＞0，有：c＜k rad(abc) 。 ε ε 证明：对于等式a+b＝c，a和b 以 c均为正整数，且a和b互质。 v k h （i）我们假设c=2 ·p，a=q，p和q均为有穷范围内的任意两个奇素数 （p v k h v k h ≠q），且2 ·p ＞q，其中k≥1，h≥1，v≥1，那么b=2 ·p-q 。显然a和b v k h v k 互质。 那么总存在一个正整数X，使得X ·q·rad （2 ·p-q ）·2·p≥2 ·p 。 我们 现在 假定对于任何 ε＞0, 存在常数 k ＞0 ，有 k ε ε h v k h v k 1+ε v k rad[q ·（2 ·p-q ）·2 ·p] ＞2 ·p 成立。 h v k h v k 1+ε v