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中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院 复变函数与积分变换 课教学大纲 学历层次：专升本 课程说明 （一）课程简介 复变函数与积分变换是工科院校机电工程类各专业的基础课程，本课程主要讨论复变 函数和积分变换。内容主要包括：复数，解析函数，复变函数的积分理论，级数及留数理论，(共形映射*)，傅立叶变换，拉普拉斯变换。 （二）课程目的 本课程为工科特别是自动控制、自动化、信号处理等专业的基础课。要求学生掌握复分析及积分变换的方法，为处理讨论好线性系统作必要的数学准备。 （三）教学时数及学分 64学时， 4个学分。 （四）考核方式：闭卷考试 复变函数占70—80%，积分变换占20—30%。 （五）使用教材 《解析函数与积分变换》 高宗升，滕岩梅 编 北京航空航天出版社 2006年第一版 （六）主要参考书目 （1）《复变函数》 西安交大编 高教出版社1996年 《积分变换》 东南大学编 高教出版社1995年 （2）《解析函数与积分变换》 田申主编 东北林大出版1995年 （七）教学方法和手段 主要通过讲授、讲解书中定理、例题，使得学生对于课程内容理解；其次通过串讲内容使得学生加深对内容的理解和认识；再次，通过作业的形式让学生巩固对课程内容的认识和应用；最后，通过自测题了解对知识的掌握程度，以找出自己的薄弱环节，然后回过头去巩固自己的知识。学生对知识的掌握通过考试可见一斑；其中和较后阶段兼用答疑的方式解决学生的疑难问题。 （八）预备课程说明 学生必须首先学习过《高等数学》课程，才能进入本课程的学习。本课程的后续课程是专业课或专业基础课，如《电子电路》及信号处理分析类课程，以及凡是用到拉普拉斯变换的各类工科课程。 课程基本内容 第一章：复数 内容 复数的概念和运算，平面点集的一般概念以及复球面和无穷远点。 教学目的和要求 熟悉复数的概念，掌握复数的四则运算及共轭运算； 熟悉复平面、模与辐角的概念，熟练掌握复数的各种表示法； 了解复球面、无穷远点及扩充复平面的概念； 熟练掌握乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式。理解区域、简单曲线、单连通 区域与多连通区域的概念。 重点 复数的运算及各种表示法。 第二章：解析函数 内容 复变函数的概念，解析函数的概念与判断和初等解析函数。 教学目的和要求 理解复变函数以及映射的概念，了解复变函数与而二元实函数的关系； 了解复变函数的极限与连续的概念、性质，熟悉复变函数数的极限和连续性与实变 函数的极限与连续性之间的区别与联系。 理解复变函数的导数以及解析函数的概念，掌握连续、可导、解析之间的关系及求 导方法； 熟练掌握函数可导与解析的判别法，掌握并能灵活应用柯西-黎曼方程；熟悉复变初 等函数，了解它们的主要性质。 重点 复变函数以及映射的概念；解析函数的概念；函数解析性的判别。 第三章： 复变函数的积分 内容 复积分的概念和计算，柯西积分定理，不定积分，柯西积分公式和高阶导数公式，解析函数与调和函数的关系。 教学目的和要求 了解复积分定义，掌握复积分计算的一般方法； 理解柯西-古萨定理，了解变上限函数的性质，复不定积分与原函数的概念，牛顿- 莱布尼茨公式； 掌握复合闭路原理，熟练掌握柯西积分公式及高阶导数公式，了解平面调和函数理 论，掌握共轭调和函数的求法。 重点 复积分的基本定理；柯西积分公式及高阶导数公式。 第四章 级数 内容 幂级数，泰勒级数，洛朗级数和解析函数的孤立奇点的分类。 教学目的和要求 了解复数列的极限概念，熟悉复数列收敛的充分必要条件； 了解级数理论、级数的性质，理解阿贝尔定理，掌握收敛半径的求法； 理解泰勒展开定理，熟练掌握的泰勒展开式，掌握 函数展开成泰勒级数的方法，能比较熟练地把一些解析函数展开成泰勒级数。 掌握罗朗级数的概念、性质，理解罗朗展开定理，能比较熟练地把一些解析函数在 不同的圆环域内展开成罗朗级数。 理解孤立奇点的概念及其分类，掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征，熟悉零点 与极点的关系。 重点 函数展开成泰勒级数与罗朗级数。 第五章 留数理论及其应用 内容 留数的定义及其求法，应用留数定理计算三个类型的积分。 教学目的和要求 理解留数的概念，掌握计算留数的一般方法，熟练掌握极点处留数的求法； 熟练掌握应用留数计算、及型积 分 。 重点 留数计算与留数定理。 *第六章 保形映射 内容 保形映射的概念和性质，分式线性映射和两个重要的分式线性映射和由初等函数构成的映射。 教学目的和要求 理解并记住两个重要的分式线性映射； 了解初等函数构成的映射。 重点 两个重要的分式线性映射，初等函数构成的映射。 第七章 富里叶变换 内容 傅里叶变换的概念和性质，单位脉冲函数的傅里叶变换和卷积定理。 教学目的和要求 了解