最佳平方逼近多项式的收敛性.docVIP

实验报告 数值实验7.2 最佳平方逼近多项式的收敛性 学号：P座机电话号码1 姓名：孙闯 一、实验目的 若已知给定区间[a,b]上的连续函数f x ,寻找一个简单、易于计算的函数P x 来代替f x 使用，即用P x 去近似f x ，这就是函数逼近要研究的问题。而逼近的方法有很多，本实验中主要讨论最佳平方逼近。 二、实验题 用matlab求解f x | x |在区间[-1,1]上关于Legendre 多项式和Chebychev多项式的展开式。 分别取展开式的4 次、8 次…截断多项式，画出f x 及各次截断多项式的图像，观察收敛性。 三、实验结果 Ⅰ、①f x | x |在区间[-1,1]上关于Legendre 多项式的4次截断多项式f x 5/128+105/64*x^2-105/128*x^4 收敛性：收敛。 拟合图像如图1。 图1 Legendre正交多项式四次截断多项式拟合 ②f x | x |在区间[-1,1]上关于Legendre 多项式的8次截断多项式 f x 2205/32768+24255/8192*x^2-105105/16384*x^4+63063/8192*x^6-109395/32768*x^8 收敛性：收敛。 拟合图像如图2。 图2 Legendre正交多项式八次截断多项式拟合 ③f x | x |在区间[-1,1]上关于Legendre 多项式的16次截断多项式 f x 座机电话号码/座机电话号码48+1座机电话号码5/座机电话号码6*x^2-座机电话号码225/座机电话号码2*x^4+座机电话号码861/座机电话号码6*x^6-座机电话号码8125/10座机电话号码*x^8+座机电话号码5125/座机电话号码6*x^10-座机电话号码2625/座机电话号码2*x^12+座机电话号码0875/座机电话号码6*x^14-座机电话号码6735/座机电话号码48*x^16 收敛性：收敛。 拟合图像如图3。 图3 Legendre正交多项式十六次截断多项式拟合 Ⅱ、①f x | x |在区间[-1,1]上关于Chebychev多项式的4次截断多项式。 f x 座机电话号码/座机电话号码0+1座机电话号码1座机电话号码/11座机电话号码*x^2-1座机电话号码/座机电话号码*x^4 收敛性：收敛。 拟合图像如图4。 图4 Chebyshev四次截断多项式拟合 ②f x | x |在区间[-1,1]上关于Chebyshev多项式的8次截断多项式。 f x 1座机电话号码/座机电话号码6+座机电话号码/座机电话号码*x^2-座机电话号码/1座机电话号码0263936*x^4+1座机电话号码/座机电话号码*x^6-1座机电话号码/座机电话号码*x^8 收敛性：收敛。 拟合图像如图5。 图5 Chebyshev八次截断多项式拟合 ③f x | x |在区间[-1,1]上关于Chebyshev多项式的16次截断多项式。 f x 座机电话号码/1座机电话号码4+座机电话号码1/座机电话号码0座机电话号码*x^2-座机电话号码65/座机电话号码0座机电话号码*x^4+1座机电话号码29/座机电话号码*x^6-座机电话号码205/座机电话号码*x^8+座机电话号码79/座机电话号码*x^10-座机电话号码9/座机电话号码344384*x^12+座机电话号码/座机电话号码36096*x^14-1座机电话号码/11座机电话号码5120*x^16 收敛性：收敛。 拟合图像如图6。 图6 Chebyshev十六次截断多项式拟合 四、实验分析 1、由实验可知，用Legendre正交多项式在区间[-1，1]上逼近函数f x | x |，不管是4次、8次或者是16次的截断多项式，其结果都是收敛的。当节点取的越多，则函数的逼近效果则越好。 2、同样由实验可知，用Chebyshev正交多项式在区间[-1.，1]上逼近函数 f x | x |，不管是4次、8次或者是16次的截断多项式，其结果也都是收敛的。当节点取的越多，则函数的逼近效果则越好。 3、对于用Legendre正交多项式逼近和用Chebyshev正交多项式进行逼近，值得注意的是，对于Legendre正交多项式，其权函数为1，所以在进行内积计算的时候，不要考虑权函数的问题。但是对于Chebyshev正交多项式，计算内积时需加入函数进行运算。否则实验图像将不会与原函数逼近。 4、通过利用Legendre正交多项式逼近和用Chebyshev正交多项式对函数进行逼近，观察图像可以看出，在函数的间断点0处的误差是最大的点。同样的，当截断多项式次数越高时，则0点出的误差也越来越小。 附录：MATLAB程序 主程序1： clear clc syms x