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长沙理工大学2007年研究生招生考试 《高等数学》考试大纲 第一部分 考试说明 一、课程性质与考试对象 高等数学是我校凝聚态物理硕士生招生考试的专业基础科。本课程考试的主要目的是考查考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。 考试对象为参加2007年全国硕士研究生入学考试的准考考生（凝聚态物理）。 二、考试的基本要求 要求考生比较系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。 三、考试形式、试卷结构与参考书 1、考试方式：闭卷，笔试 2、答题时间：180分钟 3、试卷结构 ⑴、内容比例：高等数学 约70%；线性代数 约30%； ⑵、题型比例：填空题与选择题 约30%；解答题(包括证明题) 约70% 试卷满分：150分 4、参考书目：《高等数学》（第一、二、三册），四川大学数学系高等数学教研室，高等教育出版社，1987年第二版 第二部分 考试要点 一、函数、极限、连续 1、考试内容 函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数性质及其图形，简单应用问题的函数关系的建立。 数列极限与函数极限的定义以及它们的性质，函数的左极限与右极限，无穷小和无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限： 函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理) 2、考试要求 ⑴. 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。 ⑵. 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 ⑶. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 ⑷. 掌握基本初等函数的性质及其图形。 ⑸. 会建立简单应用问题中的函数关系式。 ⑹. 理解极限的概念，理解函数的左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 ⑺. 掌握极限的性质及四则运算法则。 ⑻. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 ⑼. 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 ⑽. 理解函数的连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型。 ⑾. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。 二、一元函数微分学 1、考试内容 导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数的概念，某些简单函数的n阶导数，一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用，洛尔(Rolle)定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，泰勒(Taylor)定理，洛必达(L’Hospital)法则，函数的极值及其求法，函数单调性，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数最大值和最小值的求法及简单应用，弧微分，曲率的概念，曲率半径。 2、考试要求 ⑴. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 ⑵. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用。 ⑶. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。 ⑷. 会求分段函数的一阶、二阶导数。 ⑸. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 ⑹. 理解并会用洛尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理。 ⑺. 了解并会用柯西中值定理。 ⑻. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 ⑼. 会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 ⑽. 掌握用洛必达法则未定式极限的方法。 ⑾. 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 三、一元函数积分学 1、考试内容 原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，变上限定积分定义的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式，不定积分和定积分的换元积、分法部积分法，有理