2012考研数学一真题+解析A4纸13页完美版.docVIP

2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 渐近线的条数为（） （A）0 （） （C）2 （D）3 （2）设函数，其中为正整数，则 （A） （） （D） （3）如果在处连续，那么下列命题正确的是（） （A）若极限存在，则在处可微 （）存在，则在处可微 （C）若在处可微，则极限存在 （D）若在处可微，则极限存在 （4）设sinxdx(k=1,2,3),则有 （A）I1 I2I3. (B) I2 I2 I3. (C) I1 I3I1, (D) I1 I2 I3. （5）设其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（） （A）（） （D） （6）设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，，则（） （A）（） （D） （7）设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则（） （8）将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（） 二、填空题：9(14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （10）________。 （11）________。 （12）设则________。 。故原式 （13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵的秩为________。 （14）设是随机事件，互不相容，,,则________。 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 10分） 证明： （16）（本题满分10分） 求的极值。 （17）（本题满分10分） 求幂级数x2n 的收敛域及和函数 （18）（本题满分10分） 已知曲线，其中函数具有连续导数，且，。若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积。 （19）（本题满分10分） 已知是第一象限中从点沿圆周到点，再沿圆周到点的曲线段，计算曲线积分。 （20）（本题满分10分） 设， （Ⅰ）求 （Ⅱ）已知线性方程组有无穷多解，求，并求的通解。 （21）（本题满分10分）三阶矩阵，为矩阵的转置，已知，且二次型。 1）求 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。 （22）（本题满分10分） 已知随机变量以及的分布律如下表所示， X 0 1 2 P 1/2 1/3 1/6 Y 0 1 2 P 1/3 1/3 1/3 XY 0 1 2 4 P 7/12 1/3 0 1/12 求：（1）； （2）与. 2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题题目详解 一 选择题 1【答案】： 【解析】：，所以为垂直的 ，所以为水平的，没有斜渐近线故两条选 2【答案】： 【解析】： 所以 3【答案】： 【解析】：由于在处连续，可知如果存在，则必有 这样，就可以写成，也即极限存在，可知，也即。由可微的定义可知在处可微。 4【答案】：(D) 【解析】：看为以为自变量的函数，则可知，即可知关于在上为单调增函数，又由于，则，故选D 5【答案】：（C） 【解析】：由于，可知线性相关。故选（C） 6【答案】：（） ，则， 故 故选（） 7【答案】：（A） 【解析】：的联合概率密度为 则 8【答案】： 【解析】：设两段长度分别为，显然即，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为-1 二 填空题 9【答案】： 【解析】：特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为.再由得，可知。 故 10【答案】： 【解析】：令得 11【答案】： 【解析】： 12【答案】： 【解析】：由曲面积分的计算公式可知，其中 13【答案】： 【解析】：矩阵的特征值为，故的特征值为。又由于为实对称矩阵，是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即。 14【答案】： 【解析】：由条件概率的定义，， 其中， ，由于互不相容，即，，又 ，得，代入得，故. 三 解答题 15【解析】：令，可得 当时，有，，所以， 故，而，即得 所以。 当，有，，所以， 故，即得 可知， 16【解析】：， 先求函数的驻点.，解得函数为驻点为. 又， 所以，故在点处取得极大值. 17【解析】： 18【解析】：（1）曲线在任一处的切线斜率为，过该点处的切线为，令得.由于曲线与轴和轴的交点到切点的距离恒为. 故有，又因为 所以，两边同时取不定积分可得，又由于，所以.故函数. （2）此曲线与轴和轴的所围成的无边界的区域的面积为： . 19【解析】：设圆为圆,圆为圆，下补线利用格林公式即可，设所补直线为,下用格林格林公式得：原式 20【解析】：（Ⅰ） （Ⅱ） 可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有及，可知。 此时，原