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层 次 分 析 法 Analytic Hierarchy Process AHP 四、 层次分析法的基本步骤 为向量Aw的第i个分量。用上述方法将向量 Aw归一化即第i个分量做这样的运算 将向量Aw的归一化向量作为特征值 的归一化特征向量 五 判断矩阵的计算方法 通过前面的介绍，我们知道，在层次分析方法中，最根本的计算任务是求解判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量。这些问题当然可以用线性代数知识去求解，并且能够利用计算机求得任意高精度的结果。但事实上，在层次分析法中，判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量的计算，并不需要追求太高的精度。这是因为判断矩阵本身就是将定性问题定量化的结果，允许存在一定的误差范围。因此，我们常常用近似算法求解判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量。 三种方法：幂法、和积法和方根法 判断矩阵和积法计算步骤: 列向量归一化 精确计算，得 求和 归一化 * * 建模競賽＆层次分析法 江西環境工程職業學院 主講:刘偶愈 T.L.saaty 一 问题的提出 例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、 外形等方面的因素选择某一支钢笔。 下馆子，则要依据馆子的饭菜质量、区位条件、档次、饭菜价格、服务质量等方面因素来选择。 例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。 例3 择业 　　面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以 去选择，一般依据个人兴趣、工作环境、工资待遇、发展 前途、住房条件等因素择业。 例4 科研课题的选择 由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般 依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等 因素进行选题。 面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不便。T.L.saaty等人提出了一种能有效处理这类问题的实用方法—层次分析法。 层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是美国匹兹堡大学教授A. L.Saaty于20世纪70年代提出的一种系统分析方法。他模仿人的决策思维过程，开发一种综合定性定量与相结合的分析方法，主要解决多因素复杂系统，特别是难以定量描述的社会系统的分析方法。 二 基本的思路 ------先分解后综合的系统思想 整理和综合人们的主观判断，使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。 首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚类组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。 三、层次分析法基本原理 假定我们已知n个西瓜的重量和为1，每个西瓜的重量分别为W1，W2，…，Wn。把这些西瓜两两比较，很容易得到表示n个西瓜相对重量关系的比较矩阵： A= =（aij）nxn 显然aii= 1，aij =1/aji，aij =aik/ajk，i、j、k= 1，2，…，n 那么就有： AW= = =nW 即n是A的一个特征根，每个西瓜的重量是A对应于特征根n的特征向量的各个分量。 很自然，我们会提出一个相反的问题，如果事先不知道 每个西瓜的重量，也没有衡量器去称量，我们如能设法得到 判断矩阵（比较每两个西瓜的重量是最容易的），能否导 出西瓜的重量呢？显然是可以的，在判断矩阵具有完全一 致的条件下，我们可以通过解特征值问题 AW= λmaxW 求出正规化特征向量（即假设西瓜总重量为1），从而得到n个西瓜的相对重量。 所谓判断矩阵的一致性，即判断矩阵是否满足如下关系: aij =aik/ajk, i、j、k= 1，2，…，n 上式完全成立时，称判断矩阵具有完全一致性。 此时矩阵的最大特征值λmax=n，其余特征值均为零。在一般情况下可以证明判断矩阵的最大特征根为单根，且λmax≥n。当判断矩阵具有满意一致性时，λmax稍大于矩阵阶数n，其余特征值接近于零。这时AHP得出的结论才基本合理。 1 建立层次结构模型 一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。 例1 层次结构模型 准则层 方案层 目标层 买钢笔 质量 颜色 价格 外形 实用