sect;2.2 收敛数列的性质.ppt

§2.2 收敛数列的性质 1、唯一性 2、有界性 3、保号性 4、保不等式性 5、四则运算 6、迫敛性 7、子数列的收敛性 * 1、唯一性 定理2.2 每个收敛的数列只有一个极限. 证 由定义, 故收敛数列极限唯一. 2、有界性 例如, 有界 无界 定理2.3 收敛的数列必定有界. 证 由定义, 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 例1 证 由定义, 区间长度为1. 不可能同时位于长度为1的区间内. 3保序性 定理2.6 (收敛数列的保号性) 如果数列{xn}收敛于a, 且a?0(或a?0)? 那么存在正整数N? 当n?N时? 有xn?0(或xn?0)? 4 保号性 推论 如果数列{xn}从某项起有xn?0(或xn?0)? 且数列{xn}收敛于a? 那么a?0(或a?0)? 这说明若数列 收敛且极限不为零，则当n充分大时， 与0的距离不能任意小.这一事实在后面讨论极限的四则运算时会用到. 证 5 迫敛性 ( 双逼原理 ) 上两式同时成立, 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 例2 解 由夹逼定理得 6 绝对值收敛性: ( 注意反之不成立 ). 推论 设数列 { } 和 { } 收敛, 则 7数列极限的四则运算法则 定理2.8 设有数列{xn}和{yn}? 如果 那么 定义: 对数列, 若存在正数, 使得一切自 然数, 恒有成立, 则称数列有界, 否则, 称为无界. 数轴上对应于有界数列的点都落在闭区间上. 定理2.7 如果数列及满足下列条件: 那末数列的极限存在, 且. 定理2.4 给定两个序列，，若，且，，则. 证 反证法，如若不然，，取，由， 证明：由，取，N，当nN时， 又由， ，使得当时，有 ，使得当时，有