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肿瘤的生长规律 倪致祥 教授 问题 恶性肿瘤是目前威胁人类的一个主要的杀手，研究恶性肿瘤的生长规律，有助于人类认识其生长特点，寻找控制消灭它的措施。 为了定量地研究肿瘤的生长规律，我们希望建立一个肿瘤生长的数学模型。 建立数学模型的第一步是从实践的观察结果出发。 观察数据 通过临床观察人们发现肿瘤细胞的生长有下列现象： 1.??按照现有手段，肿瘤细胞数目超过1011时，临床才可能观察到。 2.??在肿瘤生长初期，每经过一定的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍。 3.??在肿瘤生长后期，由于各种生理条件的限制，肿瘤细胞数目逐渐趋向某个稳定值。 根据上面的观察结果，你能不能建立一个简明的数学模型，来描述恶性肿瘤的生长规律？ 模型一 设时刻t肿瘤细胞数目为 n ( t ) ，由观察2 我们可以假设肿瘤细胞的增长速度与当时该细胞数目成正比，比例系数（相对增长率）为 k 。则可以得到如下方程： n’(t) = k n (1) 其解为 n(t) = n(0) ekt (2) 据临床观察1，可令n(0) = 1011；据临床观察2，设细胞增加一倍所需时间为T，则有 n ( t＋T ) = 2 n ( t ) (3) 模型一 n(t) = n(0) ekt (2) 据临床观察1，可令n(0) = 1011；据临床观察2，设细胞增加一倍所需时间为T，则有 n ( t＋T ) = 2 n ( t ) (3) 将(2)式代入(3)式后，有 T = ln2 / k 。 由此可以得到肿瘤细胞的生长规律为 n(t) = 1011 e t ln2 /T =1011 2 t/T (4) 上面得到的模型称为指数模型，它能够很好地反映临床观察1和观察2。但是该模型未能反映出临床观察3，因此需要进一步修改。 模型二 考虑到临床观察3，我们需要对指数模型进行修正。 荷兰生物数学家Verhulst提出设想：相对增长率随细胞数目n ( t ) 的增加而减少。 若用N表示因生理限制肿瘤细胞数目的极限值，f ( n ) 表示相对增长率，则f ( n ) 为n的减函数， 为处理方便，令f ( n ) 为n的线性函数： f(n) = a – b n (5) 显然当 n = N 时，f (n)＝0； 假设当 n = 0 时，f (n) = k，代入上式即可解得 a = k, b = k / N (6) 模型二 a = k, b = k / N (6) f(n) = k ( 1 – n/N ) 则n (t) 满足微分方程 n’(t) = kn (1 - n/N ) (7) 该方程称为Logistic模型或者Verhulst-Pearl阻滞方程，广泛应用于医学、农业、生态和商业等领域。 Verhulst-Pearl阻滞方程的意义也可以作如下理解：k是肿瘤的固有增长率(Potential rate)，即如果没有生理限制而且细胞之间互不影响时的增长率。 模型二 Verhulst-Pearl阻滞方程的意义也可以作如下理解：k是肿瘤的固有增长率(Potential rate)，即如果没有生理限制而且细胞之间互不影响时的增长率。 由于有生理限制和细胞之间的相互影响，存在一个最大可能的细胞数目N。细胞数目为n的肿瘤中还未出生部分所占的比例为1－n / N 。 因此，肿瘤细胞数目的实际增长率应为其固有增长率乘以上述比例，即 k (1 – n/N ) (8) 这个结果与方程(7)完全一致。 模型二 n’(t) = k n (1 - n/N ) (7) 利用分离变量法，上述方程可以化为(9) 模型二 由上面的结果，n (0) = n0 =