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例析从特殊情形入手探索一类不等式的证法.pdf
竞 赛 之 窗
0∥ 一 0i
一 — L — (al+ )(b1+b2)(口1十bi)( +．62)．
- 十 +
3n=2时，即证 —
Sill 1COSOt1 S1n o／1COS Ol2 整理后，即(06一oab)≥0，这显然成立，于是
1 十 1 1 _+ 2_2 + 12=2时待证不等式成立．
对于一般隋形，反复利用n=2时的结果，有
_ — 一 ， 结合n=1的情形，只需证 _— 一 +
Sin Z‘ ， zsm OllCOS0／2 (al+a2)(bl+b2) + ’≤
≤
1 ≤ 2 ， 即2sin0／14-~(2)≤2，
( b b + b ≤A ．
这是成立的． 0l+… + 一1)+(1+… + 一1)。％+ + ’
从而不等式得证．
兼顾待证式的结构，由这两种特殊情形的证明不
【说明】此题的证明关键是发现一般情形和rt=2
难得到此题的证明思路．
的情形具有相同的和式结构．
证明：当OL，％是锐角时，
例 3 (2013年 中国西部数学邀请赛试题)设整数
(1)— j 一 ≤ 1
Zsln O~iCOSO／i Sln ‘ ； ≥2，且实数 … ，％E[0，1]，求证 ：
(2) 1 + ≤ 2面 ． ∑ 舳 ≤ ∑ ．
于是 1 1 = + 分析：当n=2时，即证 X12≤ 1(l+2x2)．由均
值不等式，有 (1+2+ 2)≥、3／12，于是只需证
。 (1 +志 )≤~=上sin22~(i+
≥XIX2，即X1；≥ i，也即 1≥ 2。2，由题意
— 这是成立的．
2sin2aisin =
t 2 (＼sin2a)。／，’
当n=3时，利用n=2时的结论，有XIX2+XIX3+
从而不等式得证．
2 23≤ —1
一 [(1+2x2)+(l+2x3)+2(2+2x3)]= 一(l+
说【明】通过此题可以发现，有时取一个特殊值可
能是不够的，不妨考察多个特殊值的情形，思考它们 2+3x3)，正是待证式．
之间的联系，逐渐过渡到一般情形． 由此可见，将 n=2情形的结果一般化然后反复利
例2 (1993年圣彼得堡市数学选拔考试十一年级 用，应是可取的．
试题)证明：对于任意正数 ，b，k=1，2，…， ， 证明：当 ，舰∈[0，1]时，xccf≤—1( +2xz)
都可成立不等式 ‰≤等，其中= ，成
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