第二章 函数的插值.ppt

埃尔米特插值的一般提法 埃尔米特插值的一般提法为： 设函数在节点 的函数值与导数值为： 其中 是正整数，寻求一个次数尽可能低的多 项式 ，满足： 埃尔米特插值 以如下数据构建埃尔米特插值 埃尔米特插值 以如下数据构建埃尔米特插值 现在求 及 ， 令 其中 从而有： 由此得： ， 故： ， 由 的表达式可得： 于是得到： 同理可得 算例 算例 共有 个条件，可唯一确定一个次数不超过 的多项式 ，其形式为： 目标：求出所有的 , 方法：基函数法. 可如下构造： 均为 2 n+1 次插值基函数. 这样 可表示为： 显然有： 牛顿――埃米尔特多项式的构造方法: 已知函数表 求一个插值多项式H (x)，使其满足如下条件： 插值条件的个数：m+n+2 H (x) 的次数：不超过m+n+1次 i = 0, 1, 2,…, n （6.3） i = 0, 1, 2,…, m （6.4） 按牛顿插值的构造思想，设 其中Nn (x)是牛顿基本插值多项式；Pm(x)为特定的m次多项式。 显然： i = 0, 1, 2,…, n 为确定Pm (x)，对（6.5）求导 （6.5） （6.6） 令 x = xi, i = 0, 1, 2,…, m，将条件（6.4），代入（6.6）得 所以 i = 0, 1, 2,…, 于是，求Pm (x)的问题，变成已知Pm (x)的函数表 x x0 x1 x2 … xm Pm(x) Pm(x0) Pm(x1) Pm(x2) ? Pm(xm) 确定一个次数不超过m的插值多项式Lm(x)，使其满足 i = 0, 1, 2,…, m 因为Pm(x)为小于等于m次多项式。所以， 令x – x-1 = 1，将上式代入（6.5），便得到满足插值条件 的埃米尔特插值多项式 6.6 分段低次插值 例：在[?5, 5]上考察 的Ln(x)。取 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 - 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象 Ln(x) ? f (x) ? 分段低次插值 分段线性插值 在每个区间 上，用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x): 记 ，易证：当 时， 一致 失去了原函数的光滑性。 y x o y= f(x) y=p(x) 分段Hermite插值 给定 在 上利用两点的 y 及 y’ 构造3次Hermite函数 导数一般不易得到。 * * 第六章 函数插值 6.1 代数插值 设已知某个函数关系y = f (x)在某些离散点上的函数值： 插值问题： 根据这些已知数据来构造函数y = f (x)的一种简单的近似表达式 以便于计算点 的函数值 ，或计算函数的一阶、 二阶导数值。 (6.1) 选取多项式 Pn(x) ，使得 （6.2） 作为 f (x) 的近似。 满足关系（6.2）的函数Pn(x)为f (x)的一个插值函数， x0, x1,…, xn 为插值节点，关系（6.2）为插值原则。 这种用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做 代数插值 设 x0 x1 … xn 记 a = x0, b = xn，则 [a, b] 为插值区间。 插值多项式的存在唯一性： 设所要构造的插值多项式为： 由插值条件 得到如下线性代数方程组： 此方程组的系数行列式为 范得蒙行列式 ！ 当 时， D ? 0， 因此，Pn(x)由a0, a1, … , an唯一确定。 定理 (唯一性) 满足 的 n 阶插值 多项式是唯一存在的。 6.2 拉格朗日（Lagrange) 插值 1．线性插值 x0 x1 (x0 ,y0) (x1 ,y1) P1(x) f(x) 可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。 x0 x1 x2 p