第4章-控制系统的稳定性.ppt

作业 4-4 4-5 4-6 4-8(1) 4-9 作业 4-10 4-11 4-12 第五章 状态反馈和状态观测器 系统的描述 主要解决系统的建模、各种数学模型(时域、频域、内部、外部描述)之间的相互转换等； 5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 式中 为常数， (i,j=1,2,…)为一次项系数，且 为余数，即所有高次项之和。 由于 ，故线性化方程为 为Jacobian矩阵。 其中 现在我们把问题的范围缩小，只考虑 的稳定性问题，并提出在什么条件下，可用线性化系统代替原非线性系统？ 然而这样做是否正确？我们知道，线性(化)系统与非线性系统具有根本的区别，关于线性化系统的解和有关结论是不能随意推广到原来的非线性的。 线性化方程(忽略高阶小量) 是一种重要且广泛使用的近似分析方法。 注意：在工程技术中，很多系统实质上都是非线性的，而非线性系统求解十分困难，所以经常使用线性化系统近似它。 定理4.1 (Lyapunov) 如果线性化系统的系统矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡状态 总是渐近稳定的，而且系统的稳定性与高阶导数项无关。 定理4.2 (Lyapunov) 如果线性化系统的系统矩阵A的特征值中，至少有一个具有正实部，则不论高阶导数项的情况如何，原非线性系统的平衡状态 是不稳定的。 定理4.3 (Lyapunov) 如果线性化系统的系统矩阵A有实部为零的特征值，而其余特征值实部均为负，则在此临界情况下，原非线性系统平衡状态 的稳定性决定于高阶导数项，即可能不稳定，也可能稳定。此时不能再用线性化方程来表征原非线性系统的稳定性了。 某非线性系统的状态方程为 试分析此系统在平衡状态处的稳定性。 课堂练习： 解： 由题意可知，此非线性系统有两个平衡状态 首先在　　处将其线性化 特征值 非线性系统在　　处是不稳定的 处将其线性化 此系统处于临界稳定 不能由 的特征值符号来确定系统在 处的稳定性。这种情况需要应用李亚普诺夫 第二法进行判定。 非线性系统方程为 已知系统平衡状态为坐标原点xe = 0 ，即f(xe )=0,且f(x )对xi处是可微的，系统的雅可比矩阵为 4.6.2 李氏第二法在非线性系统中的应用 1、克拉索夫斯基法 则系统在xe =0处是渐近稳定的充分条件是：下列矩阵 则系统在xe =0处是渐近稳定的充分条件是：下列矩阵 在所有x下都是负定的，而且 是一个李亚普诺夫（Lyapunov）函数。 对任意n维状态向量x，有 外，处处不为零。 ，而且，其行列式除点 时， 0 0 ) ( 0 = 1 1 x x F x 例：设系统的状态方程为 试用克拉索夫基法确定系统在平衡状态的 xe = 0 稳定性. 解： 由塞尔维斯特准则有 课堂习题： 如下非线性系统试讨论其在原点的稳定性条件 解： 关于定理的几点说明： （1）该定理对非线性系统的原点平衡状态只给出了稳定的充分条件，若 不是负定的，则不能给出任何结论。 （2）使 为负定的必要条件是，F(x)主对角线上的所有元素不为零，即： （3）线性系统是非线性系统的特例，该定理也适应于线性 定常系统。 (4)克拉索夫斯基方法主要适用于针对可线性化表示的函数，即 （a）非线性特性可用解析表达式表示的单值函数； （b）非线性函数 对 是可微的； （c） 。 李亚普诺夫函数为 x A A x x x x V T T T ) ( ) ( = = 若A为非奇异，则当 为负定时，系统的平衡状态稳定。 2、 变量梯度法 1 梯度的概念 一个多元函数 v(x1,x2,…,xn) 存在对 n 个变量 xi 的偏导数 。 在控制问题中，偏导数是指n维空间中的运动质点运动 到达某一位置时沿各个坐标方向的变化率。 把反映运动质点沿各个 坐标方向变化率的各偏 导数作为分量，构成一 个n维向量，称该向量 为函数v(x1,x2,…,xn) 的梯 度。习惯上用符号“?V” 表示。 2 向量的曲线积分 变力做功问题：变力F沿着给定路径L所做的功可用曲线积分来计算。 积分的结果与积分路径的选择无关。 3 旋度方程 如果一个向量的曲线积分与积分路径选择无关，则向量的旋度必为零。 由向量的旋度为零可得出由