工程力学应力状态.pptVIP

例5 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa) A B ? 1 ?2 解：取应力坐标系如图 s1 s2 B A C 2s0 sa ta (MPa) (MPa) O 20MPa 在坐标系内作出点： 作AB的垂直平分线，与sa 轴的交点C便是应力圆圆心， 以C为圆心，以AC为半径画圆，即得单元体的应力圆。 由应力圆得： 主应力： s1=120 MPa、 s2=20MPa a0= –30o 主平面位置如图： ?0 解法2—解析法 x y O 分析——建立坐标系如图 60o sx=? ∴ sx=95MPa 由 ? x t x 一主单元体：s1 、 s2 、 s3 一、三向应力圆 §13–4 复杂应力状态的最大应力 s t O 1 3 z x y s1 s1 s2 s2 s3 s3 s1 s3 与 y 轴(s2 )平行的各斜截面上的应力： 可知：其只由s1、s3 决定，与s2无关。 由s1、s3 得应力圆1、3： 其圆周上各点即为与s2 平行各斜截面上的应力。 s t O z x y s1 s1 s2 s2 s3 s3 s1 s2 2 同理：由s1、s2 得应力圆1、2： 其圆周上各点即为与s3 平行各斜截面上的应力。 由s2、s3 得应力圆2、3： 其圆周上各点即为与s1 平行各斜截面上的应力。 而任一斜截面上的应力： s t O 3 2 1 A 由三个应力圆所围成的阴影面积内的某一点 A 确定。 3 1 s t O C 1 3 2 二、最大应力 由三向应力圆可得： smax=s1 smin=s3 其所在截面与 s2 平行，且与 s1 平面成 45o 夹角。 平面应力状态可认为是有一个主应力为零的三向应力状态。 s t O 3 2 1 A 最大切应力tmax为最大应力圆的半径： C K 例6 已知单元体受力如图示。单位：MPa 求：1)主应力 2)主平面 3)最大切应力 解：1) 作应力圆 2) 主应力 ∴ s1=62.4 MPa、s2=17.6MPa s3=0 ∴ 2a0=63.4o a0= 31.7o s t O E(50,20) D (30,–20) D (30，–20)，E(50，20) 2 3) 主平面 2a0 4) 最大切应力 s3= 0 30 20 50 s3= 0 s1 s3=0 s2 1 3 例7 已知单元体受力如图示。单位：MPa 求：主应力最大切应力。 解：1) 作应力圆 s t O E(–20,40) D(0,–40) D (0，–40)，E(–20，40) 40 20 2 3 2) 主应力 60 40 20 ∴ s1=60 MPa s2=31.2MPa s3= –51.2MPa 3) 最大切应力 主平面 1 s = Ee 单向应力状态下，弹性范围内，有 §13–5 广义胡克定律 Ⅲ Ⅰ Ⅱ s1 s1 s2 s2 s3 s3 即： 可求出主应力方向的线应变：e1、e2、e3 称为主应变。 由叠加原理： 且： 三向应力状态下，已知主应力s1、s2、s3 棱边Ⅰ的线应变 e1： 只有s1 作用： 只有s2 作用： 只有s3 作用： ∴ Ⅲ Ⅰ Ⅱ s1 s1 s2 s2 s3 s3 棱边Ⅰ的线应变 e1： 同理有： 棱边Ⅱ的线应变 e2： 棱边Ⅲ的线应变 e3： 上三式称为广义胡克定律，反映了空间应力状态下主应力与主应变 之间的关系。 若通过实验测得 e1、e2、 e3；即可由此求得主应力s1、s2、s3。 平面应力状态下：若 s3 = 0 则： 对一般单元体：sx、sy、sz、txy、tyz、tzx 在弹性范围内，切应力不影响线应变， 为一般情况下的广义胡克定律。 ∴有 z x y sx sy sz txz tyz txy 例8 一二向应力状态，s1≠0，s2≠0，s3= 0，e1= 1.7×10-4， e2= 0.4×10-4 ， m = 0.3 。 求：e3。 解： s1 s2 ∴ 例9 已知钢梁A点处线应变 ex =4×10-5，ey=1.2×10-5 ，m=0.3， E= 200 GPa。 求： sx、sy 。 解： F A sx tx sy A = 80 MPa = 0 取A点单元体如图示：sz= 0 由： 得： F 例10 钢杆受拉如图示，已知C点与水平线夹角60o方向上线应变 e60o =410×10-6，材料E = 200 GPa，m = 0.28，d = 2 cm。 求：轴向拉力 F 。 解： 1) 取C点单元体 x s C C 60o 2) 3) ∴ s60o s150o * * 上海