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数学概念的学与教 人民教育出版社 章建跃 概念是思维的基本单位。由于概念的存在和应用，人们可以对复杂事物作简化、概括或分类的 反映；由于概念是在揭示了经验的内在联系，获得了事物的本质特征以后形成的，所以概念增 加了经验的意义。概念将事物依其共同属性而分类，依其属性的差异而区别，因此概念的形成 可以帮助学生了解事物之间的从属或相对关系。概念也可以使人们在没有直接经验的条件下获 得抽象观念，而这些观念可以用于新的情景分类，也可以用作同化或发现新知识的固着点，同 时，概念之间也可以组成具有潜在意义的命题，因而概念的学习是最重要的学习课题之一。 一、概念学习概述 1.概念的定义 概念是哲学、逻辑学、心理学等许多学科领域的研究对象。由于研究角度的不同，因而各学科 对概念的理解也有差异。例如，哲学中把概念定义为人脑对事物本质特征的反映，而心理学则 把概念与人类的分类行为紧密地联系在一起。例如，行为主义者认为概念是有机体对相似刺激 物或同类刺激物作出共同反映的能力，这种解释对初级的具体概念比较适宜，但它没有指出概 念应该抽象出事物的本质属性；认知心理学则把概念定义为“符号所代表的具有标准共同属性 的对象、事物、情境或性质”，这里的符号主要是指具有一般意义的词。例如，看到“圆”这个 词，人们的脑子里立刻引起一般的圆的表象，它不是指某一个具体的圆，而是指抽象的圆，世 界上并不存在这种离开具体圆的抽象圆，这时，“圆”这个词就代表了一个概念。现代认知心理 学认为，概念具有发展性，随着知识结构的不断完善，学生对概念的理解就从具体水平向抽象 性水平发展，从日常概念（有时这种概念是错误的）向科学概念发展。 概念通常包括四个方面：概念的名称、定义、例子和属性。以概念“圆”为例，词“圆”是概 念的名称；“到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆”是概念的定义；符合定义特征的具体图 形都是“圆”的例子，称为正例，否则叫反例；“圆”的属性有：是平面图形、封闭的、存在一 个圆心、圆心到圆上各点的距离为定长（半径），等等。 2.概念的分类 分类，就是依照某种标准，按“不重不漏”的原则，将事物划分为若干个类别。当然，这些类 别之间具有内在联系性。这里的“标准”通常是事物的某一本质特征。 世界是由大量可辨别的物体、事件和人物组成的。世上不存在完全相同的两个人，所谓“一个 人不能同时跨进一条河”说的就是事物随时间、地点、条件的变化而变化的道理。人类之所以 能应付周围环境的随时变化，就是因为有分类能力。凭借这种能力，人们就可以将接收到环境 信息做出分类，并利用类别做出推理，从而超越信息，达到认知（学习）的目的。例如，当学 生遇到一个数学问题时，他首先会将问题归结为几何问题或代数问题等；对于几何问题，他又 会进一步归结为平面几何或立体几何，然后又归结为是度量问题（求角度、长度、面积、体积 等）还是关系问题（位置关系、大小关系等），再归结到三角形、四边形…，最后用具体知识解 答之。因此，整个解题活动可以被看成一系列的分类过程。所以，分类是人类认知的基本手段， 分类“就是要分别对待各种相同的事物，对周围的各种物体、事件和人进行归类，并根据它们 这一类别的成员关系而不是它们的独特性对它们做出反应”，而类别则是人类认知的工具。学习 和利用类别是一种最基本、最普遍的认知形式。人类是通过这种认知形式来适应环境的。 分类活动以掌握事物的关键属性为前提。分类活动必须符合一定的规则，这些规则是：（1）要 以本质属性作为标准的。如“凸平面四边形”的本质属性有：平面图形、封闭的、四条边、四 个角、凸图形等。（2）指明本质属性的组织方式。如四条边共面、组成首尾相连的封闭图形、 任何一条边向两方延长其他各边都在延长所得直线的同侧，等。（3）要确立公认的限制条件。 如凸平面四边形可以有大小、形状等差别，但它只能有四条边，这是公认的限制条件之一。（4） 要权衡各种不同的属性（即哪些是本质属性，哪些是非本质属性）。例如，四条边的长短、四个 角的大小都不是本质属性。 在概念学习过程中，分类活动占有非常重要的地位。分类是概念获得的基础，是对概念的内涵 进行认识的过程；分类活动有助于学生更深刻地理解概念之间的关系；分类活动有助于学生从 整体上把握概念；分类是概括的基础，因此分类活动有助于提高学生的概括能力；通过分类， 可将事物依其属性而归类，依其相互之间的联系而成系统，而类别清晰、逻辑关系明确的概念 系统有利于记忆和检索。能否依据本质属性对事物进行恰当的分类是衡量学生是否已经习得概 念的标准。所以，