数学解题方法谈“焦点”访谈.docVIP

“焦点”访谈 焦点是确定圆锥曲线位置和形状的重要元素，与圆锥曲线的焦点相关的问题，考查力度不断增大，越来越多的焦点问题使其真正成为高考的“焦点”，“记者”围绕“焦点”问题作了如下访谈． 话题一、焦点与定义 回归定义是解答圆锥曲线问题的最基本的方法，特别是涉及求焦半径（圆锥曲线上的点到焦点的距离）的和或差，利用定义略加转化，大多能迎刃而解． 例1　已知，，为双曲线左支上任一点，求的最小值． 解：是双曲线的右焦点，为左焦点，由已知得，则，∴的最小值为． 编导提示：2004年福建卷文科第12题正是以实际生活为背景的圆锥曲线定义的应用，2006年四川卷第15题将椭圆上动点到左焦点的距离加上到右焦点的距离，利用定义和对称性迅速求解．2003年上海春季高考理科第12题也特别典型． 话题二、焦点与准线 准线也是圆锥曲线的重要元素，圆锥曲线上的任意一点到焦点距离与到相应准线的距离之比都等于曲线的离心率（圆锥曲线的第二定义）．把焦半径利用离心率的倒数转化为到准线的距离，达到化曲（折）为直求最值的目的，已成为常考模式． 例2　已知定点，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，求的最小值及此时点的坐标． 解：由椭圆方程得其右准线，离心率， 设到的距离为，则， 即． 于是， 当且仅当三点共线时取等号． 设，则， 代入椭圆方程，得（舍去负值）， 故点的坐标为． 编导提示：这道全国高中数学联赛试题是椭圆中焦点与准线转化的典型题，2004年福建卷理科第12题（见所附《互动训练》第2题）则是双曲线中这种思想的代表，抓住离心率的倒数是使问题获解的关键． 话题三、焦点与圆 圆锥曲线与圆都是高考中二次曲线考查的重点，它们的综合体现在构造与焦点有关的辅助圆上． 例3　椭圆的焦点为、，为其上的点，当为钝角时，点的横坐标的取值范围是_ ______． 解析：以为直径的圆为， 　　与椭圆方程联立消去，解得， 　　此时．如图1，当为钝角时，点须位于椭圆的劣弧或上，此时它的横坐标的取值范围是． 编导提示：本题是2000年全国卷第14题，不直接求为钝角应具备的条件，先退到为直角，处理反而简单，解答客观题需要这种灵活！2005年浙江卷文科第19题、理科第17题（见所附《互动训练》第3题），均是焦点与圆交汇的范例（两道试题都需要了解平面几何中切割线定理）． 　　关于焦点的话题还有很多，咱不能光说不练，还是适时笔谈《互动训练》吧． 　　互动训练： 　　1．给出问题：是双曲线的焦点，在双曲线上．若到的距离为9，求到的距离．某学生的解答：双曲线的实轴长为8，由得或．该生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上．______． 2．如图2，地在地的正东方向处，地在地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到的距离比到的距离远2km．现要在曲线上选一处建一座码头，向两地转运货物．经测算，从到，从到修建公路的费用分别是万元/km、万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（　　）． （A）万元　　（B）万元 （C）万元　　（D）万元 3．如图3，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点，在轴，长轴的长为4，左准线与轴的交点为，， （1）求椭圆的方程； （2）（文）为上的动点，求最大值． （理）若直线，为上的动点，求使最大的点（记作）的坐标（用表示）． 《互动训练》参考答案： 1．　2．Ｂ 3．（1）；（2）（文）（理）． 金太阳新课标资源网 第 1 页 共 3 页 金太阳新课标资源网