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CH8: DFT性质及应用 x3(n) 举例： 计算下列两个序列的线性卷积和与之相等的循环卷积。 块卷积 将无限长的输入序列分割成比较小的块，利用DFT处理每一段，最后从每段输出中再组装成输出序列，这个过程称为块卷积运算。 重叠相加法 [1] 将信号x(n)分解成为长度为N的序列块xm(n) [2] 将h(n)和xm(n)补零，使长度变为N+K-1 [3] 用N+K-1点DFT计算每块的圆周卷积 [4] 用下式将结果相加： 举例 利用重叠相加法求下列两个序列的线性卷积： 线性卷积厚的序列长度是4+3-1=6 块卷积的重叠保留法 该法是针对重叠相加法的一种改进方案。 改进原因：每次计算长度为N+K-1的DFT 每次计算长度为N的DFT 圆周卷积不等于线性卷积，因此必须/只能选取其中有效的取样 有效取样：对于n=K-1,长度N的圆周卷积与线性卷积的值相等。 卷积的前K-1个取样去除，这些去除需要弥补 南京大学 计算机科学与技术系 南京大学 计算机科学与技术系 主讲教师：王崇骏 主要内容 性质 线性 循环反转/时间反转特性 序列的循环移位 频域循环移位 循环卷积/圆周卷积 序列相乘 … 应用 利用DFT求线性卷积 [1] 线性 1. 两序列都是N点时，如果 则： 和 的长度N1和N2不等时，选择 为变换长度,短者进行补零达到N点。 举例： [2] 循环反转 如果一个N点的序列反转，那么其结果就不会是一个N点序列，因此需要对(-n)应用求余运算，并定义反转为 1 2 3 4 5 n=0 5 4 3 2 1 n=0 N=6 圆周位移 原始序列 周期拓展 反转 主值区间 举例: 画出下列序列的反转x(-n),并验证反转性质 程序1 n=0:1:10;x=10*(0.8).^n; y=x(mod(-n,11)+1); subplot(2,1,1);stem(n,x);title(Original Sequence); xlabel(n);ylabel(x(n)); subplot(2,1,2);stem(n,y);title(Circularly folded sequence); xlabel(n);ylabel(x(-n mod 10)); 程序2 n=0:1:10;x=10*(0.8).^n; y=x(mod(-n,11)+1); X=dfs(x,11);Y=dfs(y,11); subplot(2,2,1);stem(n,real(X)); title(Real{DFT[x(n)]});xlabel(k); subplot(2,2,2);stem(n,imag(X)); title(Imag{DFT[x(n)]});xlabel(k); subplot(2,2,3);stem(n,real(Y)); title(Real{DFT[y(n)]});xlabel(k); subplot(2,2,4);stem(n,imag(Y)); title(Imag{DFT[y(n)]});xlabel(k); 如果一个N点的序列在任何一方向移位，那么其结果就不会在[0,N-1]内，因此现对其进行周期延拓,然后再移位 [3] 序列的循环移位 原始序列 周期拓展 移位 主值区间 简单的证明: 举例: 利用循环移位性质画出下列序列的向右移6位的序列，周期是15 function y=cirshftt(x,m,N) if (length(x)N) error(N must be = the length of x); end x=[x zeros(1,N-length(x))]; n=[0:1:N-1]; n=mod(n-m,N); y=x(n+1); [4] 频域循环移位 这个性质与上面的性质是对偶的 [5] 循环卷积（圆周卷积） 两个N点序列的的圆周卷积定义如下： 两个N点序列的的圆周卷积的结果是N点序列 矩阵表示 简单的证明： 时域离散卷积 等价为： 两个序列的乘法后再进行反DFT变换 举例： 计算下列两个序列的4点循环卷积； 按照定义： function y=circonvt(x1,x2,N) if (length(x1)N) error(N must be =the length of x1); end if (length(x2)N) error(N must be =the length of x2); end x1=[x1, zeros(1,N-length(x1))]; x2=[x2, zeros(1,N-length(x2))]; m=[0:1:N-1]; x2=x2(mod(-m,N)+1); H=zeros(N,N); for n=1:1:N H(n,: