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空间初步习题解答.pdf
1
2
(A)
2.1 X , ρ(x, y) = 0, x = y, ρ X
.
1, x = y,
. , . (1) x = y
, ρ(x, y) = 0 ρ(x, z) + ρ(y, z).
(2) x = y , ρ(x, y) = 1,
ρ(x, z) + ρ(y, z) = 1, z = y or z = x,
2, z = y and z = x.
, ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(y, z).
2.2 (X, ρ) , ∀x , x , y , y ∈ X
1 2 1 2
|ρ(x , x ) − ρ(y , y )| ρ(x , y ) + ρ(x , y ).
1 2 1 2 1 1 2 2
ρ(x , x ) ρ(x , y ) + ρ(y , y ) + ρ(y , x ) ρ(y , y ) ρ(y , x ) +
1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1
ρ(x , x ) + ρ(x , y ) .
1 2 2 2
2.3 (X, ρ) x → x, y → y, ρ(x , y ) → ρ(x, y).
n n n n
, |ρ(x , y ) − ρ(x, y)| ρ(x , x) + ρ(y , y) → 0(n → ∞).
n n n n
2.4 {x } (X, ρ) , {x }, {x }, {x } ,
n 2n 2n+1 3n
{x } .
n
a, b, c, a = b. .
a = b.
(1) c = a c = b , ε = |b − a|/2, O(a, ε ) ∩ O(b, ε ) = ∅. c = a,
1 1 1
O(a, ε ) = O(c, ε ) {x } , {x }
1 1 3n 2n+1
, O(b, ε ) {x } , . c = b
1 2n+1
.
(2) c = a c = b , ε = 1 min{|b − a|, |b − c|, |a − c|}, O(a, ε ),
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