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试卷一 （参考答案及评分标准）
一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D
二 、 1 ． ∅ 2 、 [0,1] ； ∅ ； [0,1] 3 、
* * *
mT= m (T∩ E)+ m (T∩CE)
⎧ n ⎫
4 5
、充要 、 | f(x)− f(x )| 成一有界数集。
⎨∑ i i−1 ⎬
⎩i=1 ⎭
三、1．错误……………………………………………………2 分
例如：设 是 上有理点全体，则 和 都在 中稠密
E 0,1 E CE 0,1
[ ] [ ]
………………………..5 分
2．错误…………………………………………………………2 分
例如：设E是Cantor集，则mE=0，但E= c， 故其为不可数集
……………………….5分
3．错误…………………………………………………………2 分
⎧x,x∈E;
⎪
例如：设 是 上的不可测集，
E a,b f(x)=
[ ] ⎨
−x,x∈ a,b −E;
⎪ [ ]
⎩
则| f(x)|是[a,b]上的可测函数，但 f(x)不是[a,b] 上的可测函
数………………………………………………………………..5 分
4．错误…………………………………………………………2 分
mE= 0时，对E上任意的实函数 f(x)都有 f(x)dx= 0…5分
∫
E
四、1． f(x)在 上不是 可积的，因为f(x)仅在 处连续，
[0,1] R− x=1
即不连续点为正测度集………………………………………..3 分
…6
因为f(x)是有界可测函数，f(x)在 0,1 上是L−可积的 分
[ ]
2 1 2 1
因为f(x)与x a.e.相等，进一步， f(x)dx= x d
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