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回顾考试卷2 Ben Wang and Mark Styczynski 这里我们粗略介绍在回顾章节中我们要回顾的内容。实际上每一部分所讲的内容要 比我们所回顾的内容详细得多。 另外，请注意这篇回顾没有被完全校对，所以会有打字错误或其他一些轻微错误。 但是，这篇回顾能够很好地指导你，让你知道你应该掌握什么知识。 最后，要熟悉书中的内容。这样，如果在考试中遇到了你不很了解的知识（例如： 上次考试中的LU分解），你至少知道去书中的哪一部分找。 第4章: IVPs 目标：建立更新轨迹的迭代规则来达到数值解等于准确解的积分的目标。 把更高阶的微分方程转化成耦合一阶微分方程的系统。 什么是求积分？ 数值积分包括“积分”一个多项式→ 这就是为什么多项式插值很重要。 多项式插值： 通过定义支持点 N 来实现多项式插值。在支持点 N 处，多项式等于函数。我们定义 多项式： 这样 j = 0,1,2,, N 你可以用以前在线性系统中所用的方法来解此方程。让我们找出一个更好的方法来 解此方程。 拉格朗日插值： 对于 N 个支持点，拉格朗日插值是 N 个拉格朗日多项式之和，每个拉格朗日多项 N − 1 式的阶数为x ，这样的设计能够在具体的支持点紧密（准确？）符合。 既然我们有了多项式的总和或单个多项式，我们可使用梯形法则，Simpson规则 等对多项式在数值上进行积分。 积分：Newton-Cotes→ 均匀分隔的点 不同的方法：梯形法则，Simpson 规则 b ( b − a) 3 f ( x ) dx ≈ [f + f ] ( ) O b − a ∫ 2 0 1 a 误差为 b ( b − a) 4 ( ) [ ] f x dx ≈ f + 4f + f ( ) O b − a ∫ 6 0 1 2 a 怎样变得更加准确？ 在做出更多的点之前要将已有的点切成更小的部分。 怎样在二维空间中进行积分？ 做出一个包含所有点的矩形，并用一个“指示”函数乘以你正在积分的函数。 此 “指示”函数能够指示是否你处于被积区域。 （指示 =1 表明你在被积区域） （指示=0 表明你不在被积区域） 这都与时间积分相关。 线性 ODE （常微分方程）系统与动态稳定性： 线性系统起始于一个已知的ode问题，x_dot = Ax 。你可以扩展指数解来分析结果。 看一个引起有关稳定性及解的性质讨论的线性系统。 非线性 ODE 系统： 同种分析方法，现在我门运用泰勒展开，产生雅可比行列式。 时间匹配 ODE-IVP 解算程序： 显式法：通过选取一时间步长来生成一种新的状态。时间步长是根据原来时间步长 状态下的函数值来选取的。 显式欧拉法 ∆ t 使用泰勒近似产生一阶整体误差（二阶局部误差，但是O （ ）时间步长， ∆ t 所以O （ ）误差） Runge-Kutta法 仍是显式法，但是使用到了中点。 二阶RK： 其中整体误差是（∆ t ）^2\ 还能得到更高阶数的方程。 RK 四阶方程是 ode45 的基础。 四阶 RK