关于椭圆内接n边形面积最大值问题的解答.pdfVIP

维普资讯 2008年 第 47卷 第9期 数学通报 47 关于椭圆内接 ，z边形面积最大值问题的解答 米其韬 (辽宁省朝阳市教师进修学院 122000) 文Eli“数学疑难”专栏提出：“圆z+ =r2的 内接 边形 中，具最大面积的是 圆内接正 边形． 2 2 一 ． ． 那么，设n6o，椭圆 + 一1的内接三角形的 最大面积是多少?内接 四边形呢? 内接 边形 呢?”，对于前两问，文[2]通过下面两个定理已给出 解答． 2 ．2 ～ 定理 1 以椭圆 + 一1的任意两共轭直径 图 1 证明 设 BC与AM 相交于点F，则 BF—FC． 为对角线 的四边形 的面积为定值 “2ab”，且该值 即 任作一弦DE，使DE／／BC，并使其与AM的交点G 为该椭圆内接四边形面积的最大值． 落在线段 AF内，则有 DG—GE．由此容易知道，由 定理2 若椭圆 + 一1的内接三角形是 以 FB、FA和AmB所围成 的图形的面积，等于由FC、 其顶点为切点的外切三角形的中点三角形 (以三角 FA和A C，昕围成的图形的面积 ，因 S△脚 ==：SA ， 形三边中点为顶点的三角形 ，称为原三角形的中点 故 S弓形 B===S弓形 c． n 为叙述问题的方便，下面将椭圆上任意一点与 三角形)，则这样的内接三角形的面积为定值 “半 椭圆中心连接所得的线段 ，称为椭 圆半径；由椭 圆 n6”，且该值即为该椭圆内接三角形面积的最大值． 的一条弧和经过这条弧的端点的两条椭圆半径所 2 一 一 围成的图形，称为椭圆扇形． 文[2]还对后一问提出如下猜想：若椭圆 + “ 命题 2 如图2，0为椭圆的中心，若 sB形 = 2 ， ． ． 一1的内接 边形满足条件：以任意顶点为一端 S弓形Ac，贝ⅡS椭圆扇形0B=Smn 形04c． 点的椭圆直径的共轭直径 ，平行于 以与此顶点相邻 的两顶点为端点的弦，则这样的 边形的面积为定 值 “1nsin 6” ， 且该值即为该椭圆内接 边形面 积的最大值 (对 ，z取确定的值而言)． 下面笔者通过定理 3给 出关于后一问的全部 解答，供 同行参考．首先证明如下三个命题 ：