高考数学二十二个必考问题讲解8.docVIP

必考问题8　平面向量线性运算及综合应用问题 1．(2012·广东)若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．(－2，－4) B．(2,4) C．(6,10) D．(－6，－10) A　[抓住向量的起点与终点，用终点坐标减去起点坐标即可．由于＝(2,3)，＝(4,7)，那么＝＋＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．]2．(2012·四川)设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)． A．a＝－b B．ab C．a＝2b D．ab且|a|＝|b|C　[对于A，注意到当a＝－b时，≠；对于B，注意到当ab时，与可能不相等；对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当ab，且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的充分条件是a＝2b.]3．(2012·浙江)设a，b是两个非零向量，下列选项正确的是(　　)． A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则ab B．若ab，则|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b| C　[对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，因此ab不成立；对于B，满足ab时，|a＋b|＝|a|－|b|不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，因此成立，而D显然不一定成立．]4．(2012·新课标全国)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.解析　依题意，可知|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4－4|a||b|·cos 45°＋|b|2＝4－2|b|＋|b|2＝10，即|b|2－2|b|－6＝0， |b|＝＝3(负值舍去)． 答案　3 1．高考一般会以客观题的形式重点考查向量的线性运算及其应用，向量的垂直、平移、夹角和模的运算，向量的几何运算等． 2．平面向量作为工具在考查三角函数、平面解析几何等内容时常用到，属于中等偏难题． 1．要理解平面向量具有两个方面的特征：几何特征和代数特征，可以认为平面向量是联系几何图形和代数运算的纽带，因此复习时要抓住平面向量的核心特征． 2．由于平面向量在三角函数、平面解析几何中的工具作用，所以备考时要熟练掌握平面向量的基础知识. 必备知识 向量的概念 (1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±. (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)． (4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量． (5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影． 向量的运算 (1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律． (2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a·b运算结果不仅与a，b的长度有关而且与a与b的夹角有关，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 两非零向量平行、垂直的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则ab?a＝λb，ab?x1y2－x2y1＝0. ab?a·b＝0，ab?x1x2＋y1y2＝0. 可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆． 必备方法 1．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量＝－(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量． 2．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立． 3．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线． 常考查平面向量的基本概念、线性运算、加减运算等基础知识．同时，要加强三角形法则、平行四边形法则应用技巧的训练和常用结论的记忆，难度以中低档为主．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例1】 (2010·湖北)已知ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　)． A．2 B．3 C．4 D．5 [审题视点] 　 　 [听课记录] [审题视点] 由＋＋＝0, 可知M是ABC的重心． B　[＋＋＝0，点M是ABC的重心．＋＝3 .m＝3.] (1)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结