2013版高中全程复习方略配套课件：2.5指数和指数函数(北师大·数学理·陕西专用).ppt

【方法点睛】 1.应用指数函数图像解决指数型函数的性质问题 对指数型函数的图像与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的处理往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像,然后数形结合,使问题得解. 2.指数型方程、不等式的图像解法 一些指数方程、不等式问题,往往利用相应指数型函数图像通过数形结合求解. 指数函数图像的应用 【提醒】在利用指数函数图像解决一些问题时，图像形状、趋势及经过的特殊点要准确，否则数形结合时易产生失误. 【例2】已知f(x)=|2x-1|. (1)求f(x)的单调区间. (2)比较f(x+1)与f(x)的大小. (3)试确定函数g(x)=f(x)-x2零点的个数. 【解题指南】(1)作出f(x)的图像,数形结合求解. (2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x+1)的图像，数形结合求解. (3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=x2的图像,数形结合求解. 【规范解答】(1)由f(x)=|2x-1|= 可作出函数的图像如图.因此函数f(x)的减区间为(-∞,0)；函数f(x)的增区间为(0,+∞). x y o -1 (2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x+1)的图像，如图所示. x y o 1 2 -1 1 x0 f(x+1) f(x) 由图像知,当 时,解得x0= 两图像相交,从图像可见,当x＜ 时,f(x)＞f(x+1)； 当x= 时,f(x)=f(x+1); 当x＞ 时,f(x)＜f(x+1). (3)将g(x)=f(x)-x2的零点转化为函数f(x)与y=x2图像的交点问题,在同一坐标系中分别作出函数f(x)=|2x-1|和y=x2的图像,如图所示，有四个交点,故g(x)有四个零点. y=1 y=x2 y=f(x) O 【反思·感悟】对于指数型函数的单调性、最值、零点及指数型方程、不等式,能画出其图像的一般用数形结合法求解,但要注意画出的函数图像的基本特征必须要准确,否则很容易出现失误. 【变式训练】(2012·汉中模拟)k为何值时,方程|3x-1|=k无解？有一解？有两解？ 【解析】函数y=|3x-1|的图像是由函数 y=3x的图像向下平移一个单位后,再把 位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上 方得到的,函数图像如图所示. 当k＜0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图像无交点,即方程无解；当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图像有唯一的交点,所以方程有一解； 当0＜k＜1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图像有两个不同交点,所以方程有两解. 【变式备选】若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a0,a≠1)的图像有两个公共点，求实数a的取值范围. 【解析】分底数0a1与a1两种情况，分别在同一直角坐标系中作出两函数的图像，如图： 从图中可以看出，只有当0a1，且02a1， 即0a 时，两函数才有两个交点. 所以0a 指数函数性质的应用 【方法点睛】利用指数函数的性质可求解的问题及方法 (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小. (2)与指数函数有关的指数型函数定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解方法一致,只需根据条件灵活选择即可. 【例3】(1)(2012·吉安模拟)函数 的定义域是 ________. (2)函数 的单调递减区间为_____,值域为______. (3)(2012·西安模拟)已知定义域为R的函数 是 奇函数. ①求a的值，并指出函数f(x)的单调性(不必说明单调性的理由); ②若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,求k的 取值范围. 【解题指南】根据待求的指数型函数的结构特征,选择恰当的求函数定义域、值域(最值)、单调区间、奇偶性的方法求解. 【规范解答】(1)由题意知32x-1- ≥0, ∴32x-1≥3-3,∴2x-1≥-3, ∴x≥-1,即定义域是[-1,+∞). 答案：[-1,+∞) (2)令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-∞,-2)上单调递 增,在(-2,+∞)上单调递减,而 在R上单调递减,所以f(x) 在(-∞,-2)上单调递减. 又g(x)=-(x+2)2+7≤7,∴f(x)≥ 答案：(-∞,-2) [3-7,+∞) (3)①已知函数f(x)的定义域为R,∵f(x)是奇函数, ∴f(x)+f(-x)=0, 即 (另解:由f(x)是R上的奇函数, 所以f(0)=0,故a 再由