【精品一轮 特效提高】2014高考总复习(理数)-题库：8.6 空间向量及运算.docVIP

8.6 空间向量及其运算 一、选择题 1．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　)． A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b} 解析　若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底． 答案　C 2．以下四个命题中正确的是(　　)． A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底C．ABC为直角三角形的充要条件是·＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 解析　若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾． 答案　B 3．有下列命题： 若p＝xa＋yb，则p与a，b共面； 若p与a，b共面，则p＝xa＋yb. 若＝x＋y，则P，M，A、B共面； 若P，M，A，B共面，则＝x＋y. 其中真命题的个数是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 解析　其中为正确命题． 答案　B 如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D．－a－b＋c 解析 ＝＋＝＋＋ ＝－a＋b＋c. 答案　A 5．如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且AOB＝AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)．A．0 B. C. D. 解析　设＝a，＝b，＝c[来源:Zxxk.Com] 由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|， ·＝a·(c－b)＝a·c－a·b ＝|a||c|－|a||b|＝0，cos〈，〉＝0. 答案　A[来源:学科网ZXXK] ．如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A. B. C．1 D. 解析 ＝＋＋，||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝.答案　D ．下列命题中 若ab，bc，则ac； 不等式|a＋b|＜|a|＋|b|的充要条件是a与b不共线； 若非零向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ、μR，且λμ≠0)，则cd. 正确命题的个数是(　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 解析　只有命题是正确命题． 答案　B 二、填空题 ．如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________________．解析　＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋－ ＝＋×(＋)－× ＝＋＋ x，y，z的值分别为，，. 答案　，， R，向量，且，则 解析 . 答案 10．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，BAD＝90°，BAA′＝DAA′＝60°，则AC′的长为________． 解析 如图，＝＋＋＝＋＋， 所以|AC′|＝||＝|＋＋| ＝ ＝＝. 11．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，(＋＋)2＝32；·(－)＝0；向量与向量的夹角是60°；正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________． 解析 由，，⊥，得(＋＋)2＝3()2，故正确；中－＝，由于AB1A1C，故正确；中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故不正确；中|··|＝0.故也不正确． 答案 12．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，OAC＝45°，OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．解析　设＝a，＝b，＝c. OA与BC所成的角为θ， ·＝a(c－b)＝a·c－a·b ＝a·(a＋)－a·(a＋) ＝a2＋a·－a2－a·＝24－16. cos θ＝＝＝. 答案　 三、解答题 ．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D共面． 证明 令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0. 则(λ＋