2011年高考数学专题讲义向量和圆锥曲线.docVIP

第十八讲 向量与圆锥曲线（一） ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 （ ） （A） （B） （C） （D） 2.年（全国）设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（ ） A． B． C． D． 3．设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是A． B． C． D． 4．已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D） 5．若曲线y2＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是 （1）没有公共点 方程组无解 （2）一个公共点 （3）两个公共点 2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式： 3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 主要题型： 1．三点共线问题； 2．公共点个数问题； 3．弦长问题； 4．中点问题； 5．定比分点问题； 6．对称问题； 7．平行与垂直问题； 8．角的问题。 近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为 （1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。 （2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。 特别提醒：(法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。 ★★★突破重难点 【】在平面直角坐标系O中，直线与抛物线y2＝2x相交于A、B两点． （1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－). ∴=3； 当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为，其中， 由得 又 ∵ ， ∴， 综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题； (2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上； 说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=－6，或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0). 【】已知A,B为抛物线x2=2py(p0)上异于原点的两点，，点C坐标为（0，2p） 求证：A,B,C三点共线； （2）若＝（）且试求点M的轨迹方程。 （1）证明：设，由得， 又，，即A,B,C三点共线。 （2）由（1）知直线AB过定点C，又由及＝（）知OM(AB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x(0，y(0)。 【】椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F2，| PF1|=，| PF2|=. （I）求椭圆C的方程； （II）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程。 解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3. 在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=, 从而b2=a2－c2=4, 所以椭圆C的方程为＝1. (Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0. 因为A，B关于点M对称. 所以 解得， 所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意) 解法二：(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 ① ② 由①－②得 ③ 因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1