在职工程硕士GCT-数学-线性代数五-矩阵的特征值与特征向量.ppt

* * 第5章 矩阵的特征值和特征向量 （方阵） 一、特征值和特征向量的定义 二、特征值和特征向量的计算 三、特征值和特征向量的性质 ★★ 四、矩阵的相似对角化问题 ★★ 一、特征值和特征向量的定义 若存在常数 和非零列向量 ，使得 阶矩阵 （对应于） ● 特征向量 ● 特征向量一定是属于某个特征值的。 则称 的一个特征值； 的属于特征值 的特征向量。 （对应于） 二、特征值和特征向量的计算 阶矩阵 ① 解方程： 则此方程的根即为 的特征值。 ● 若 满足： ，则 就是 的 ● 阶矩阵应有 个特征值. 一个特征值。 例 ★★ 是 的特征值. 是 的特征值. ● 对角矩阵、上（下）三角矩阵的特征值为 其主对角线上的元素。 ★★ 设 ● 的特征多项式： ● 的特征方程： ② 对每个特征值 ， 齐次线性方程组： 的非零解， 即为 的属于特征值 的特征向量。 （即基础解系的非零线性组合） ● 对每个特征值 ，一定有特征向量！ ● 对应于 的线性无关的特征向量的个数为： （后面矩阵可对角化时有用！） 反之，若 是 属于 的特征向量，则 满足此方程。 例 设 ，则 的对应于特征值 的 （P70 第8题） 一个特征向量是（ ）. （05年） A. B. C. D. D 解 法一 验证！（验证有技巧） 即 只需验证第三个方程 法二 按 验证！ A. 不正确。 B. 不正确。 三、特征值和特征向量的性质 1. 设 阶矩阵 的 个特征值为 则 ① ② （ 的迹） （ ） （P63 定理3） 2. 阶矩阵 可逆 的 个特征值均不为0. （P63 定理4） ★ ★★ 例 矩阵 ， ，若 的 ★★（P71 第9题） 特征值和 的特征值对应相等，则其中（ ）. （06年） A. B. C. D. B 解 由题知 即 排除C, D. 代入 选B. 设矩阵 , 则 的三个特征值为 ★★补 A. B. C. D. （ ）. A 解 （用特征值的性质验证） 不要直接求！ 排除C, D. 又 排除B. 故 选A. 3. ★★ a. 与 有相同的特征值。 b. 与 的特征值互为倒数。 （ ） c. 设 的特征值，则 ① 的特征值； ② 的特征值。 例 设 是 的一个特征值， 求： 的一个特征值。 解 例 已知四阶矩阵 的特征值为 ， ★★（P69 第3题） 则 （ ）. D A. B. C. D. 解 （用特征值的性质） 关键求出 的特征值。 设 是 的特征值，则 是 的特征值 由题知， 的特征值为： 例 设 是 的伴随矩阵，则 的一个 ★★（P71 第11题） 特征值为（ ）. （08年） A A. B. C. D. 解 的特征值是： （ 其中： 是 的特征值） 由题知， 且 的特征值是： 的特征值是： 例 若三阶矩阵 的特征值 ，则矩阵 的特征值为（ ）. C A. B. C. D. 以上都不对。 （★P69 第2题） 解 从而， 的特征值为： 的特征值是： 故 的特征值是： 4. 与 的特征向量相同，但属于对应的特征值。 （设 是 属于特征值 的特征向量， 则 是 属于特征值 的特征向量） （P63 例5） 例 已知 是