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用位移变分法求解问题 一 求解问题： 铅直平面内的正方形薄板，边长为2a，四边固定，图1，只受重力作用。设μ=0，试取位移分量的表达式为 用里兹法或伽辽金法求解（在u的表达式中， 布置了因子x和y，因为按照问题的对称条件， u应为x和y的奇函数）。 二 求解步骤： 取坐标如图1所示，位移分量为 上述位移分量满足位移边界条件 现在，式（1）取各式前两个系数为待定系数，也就是取 将式（2）代入式（3），即 其中，μ=0，得 因为在这里可得 由式（5）得 解式（6）得， 将式（7）代入式（2）得位移函数 将位移函数式（8）代入位移-应力函数中，可得 三 MATLAB求解 应力空间图 这里取， 由应力函数可到以下图2，图3，图4。分别代表x方向正应力，y方向正应力，剪应力 由应力图很容易观察到图像关于x轴y轴的对称性，对比应力的函数的奇偶对称性正好相对应。图2知x方向的正应力峰值出现在薄板上（±a,±0.5a）；由图3知y方向正应力最大出现在（0，±a）;由图4切应力最大值出现在（±a,0）。 其中， 三 总结 创新实践将在弹性力学的不容易求解的问题借助于软件得以实现，一方面，从思维上培养了自己做事情认真严谨的作风；另一方面，从动手能力方面得到提升。创新实践不单单是做一个题目的问题，更加重要的是从做题中在，做到了对理论的复习和提升；做到了对软件的全面掌握，并熟练度得到提高；做到了一种分析问题借，助工具解决问题的能力。 附录： clear clc syms x y u v a A B dux dvy duy dvx V p g E; u=(1-x^2/a^2)*(1-y^2/a^2)*(x/a)*(y/a)*A; v=(1-x^2/a^2)*(1-y^2/a^2)*B; dux=diff(u,x); dvy=diff(v,y); dvx=diff(v,x); duy=diff(u,y); duy=SIMPLIFY(duy); dux=SIMPLIFY(dux); dvy=SIMPLIFY(dvy); dvx=SIMPLIFY(dvx); dux2=dux^2; dvy2=dvy^2; dxy=(dvx+duy)^2; dux2=SIMPLIFY(dux2); dvy2=SIMPLIFY(dvy2); dxy=SIMPLIFY(dxy); ji=dux2+dvy2+0.5*dxy; ji=SIMPLIFY(ji); V=int(int((ji),x,-a,a),y,-a,a); V=SIMPLIFY(V); V=0.5*E*V; m=p*g*int(int((1-x^2/a^2)*(1-y^2/a^2),x,-a,a),y,-a,a); m=SIMPLIFY(m); dva=diff(V,A); dvb=diff(V,B); dva=SIMPLIFY(dva); dvb=SIMPLIFY(dvb); [A,B]=solve(32/1575*E*(18*A-7*B)=0,-32/225*E*(A-30*B)=16/9*p*g*a^2,A,B); A=A B=B u=(1-x^2/a^2)*(1-y^2/a^2)*(x/a)*(y/a)*A; v=(1-x^2/a^2)*(1-y^2/a^2)*B; fx=E*diff(u,x); fy=E*diff(v,y); fxy=0.5*E*(diff(v,x)+diff(u,y)); fx=simplify(fx) fy=simplify(fy) fxy=simplify(fxy) p=1; g=1; a=1; fx=175/1066*(a^2-y^2)*y*p*g*(-3*x^2+a^2)/a^4 fy=-450/533*(a^2-x^2)*y*p*g/a^2 fxy=-25/2132*x*p*g*(29*a^4-15*y^2*a^2-21*y^2*x^2+7*x^2*a^2)/a^4 ezmeshc(fx,[-1,1,-1,1]) figure ezmeshc(fy,[-1,1,-1,1]) figure ezmeshc(fxy,[-1,1,-1,1]) （3程序运行主要结果 A=175/1066/E*p*g*a^2 B=225/533/E*p*g*a^2 fx=175/1066*(a^2-y^2)*y*p*g*(-3*x^2+a^2)/a^4 fy=-450/533*(a^2-x^2)*y*p*g/a^2 fxy=-25/2132*x*p*g*(29*a^4-15*y^2*a^2-21*y^2*x^2+7*x^2*a^2