2015北师大版高考数学立体几何试题.docVIP

(2005年)（11）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（B） （A）3个 （B）4个 （C）6个 （D）7个 （1）(本小8题满分12分) 在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD． （Ⅰ）证明AB⊥平面VAD． （Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小． （18）证明：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．…………………………1分 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，…………………………2分 则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，）， ∴………………………………3分 由……………………………………4分 ……………………………………5分 又AB∩AV=A ∴AB⊥平面VAD…………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量………………………………7分 设是面VDB的法向量，则 ……9分 ∴，……………………………………11分 又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为…………12分 (2006年)11．已知平面外不共线的三点到的距离都相等，则正确的结论是( D) （A）平面ABC必不垂直于 （B）平面ABC必平行于 （C）平面ABC必与相交 （D）存在的一条中位线平行于或在内 15．水平桌面上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）。在这4个球的上面放一个半径为R的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面的距离是＿＿3R＿＿。 （１９）（本小题满分１２分） 如图，点A在直线上的射影为点B在上的射影为已知求： （I）直线AB分别与平面所成角的大小； （II）二面角的大小。 19.解法一: (Ⅰ)如图, 连接A1B,AB1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l, BB1⊥l, ∴AA1⊥β, BB1⊥α. 则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角. Rt△BB1A中, BB1= , AB=2, ∴sin∠BAB1 = = . ∴∠BAB1=45°. Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , ∴∠ABA1= 30°. 故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°. (Ⅱ) ∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB, ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角. 在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=. ∴Rt△AA1B中,A1B== = . 由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F== = , ∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE = = , ∴二面角A1－－. 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得=t , 即(x,y,z－1)=t(,1,－t, t,1－t).要使⊥,须·=0, 即(t, t,1－t) ·(,1,－－－ , ∴点F的坐标为(,－ ), ∴=(,, ). 设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0,, ). ∴=(,－). 又·=(,－)·(,1,－ － － ⊥, ∴∠A1FE为所求二面角的平面角. 又cos∠A1FE= = = = = , ∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos. (2007年)6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点 在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 　　（A） (B) (C) (D) 解析：正三棱锥的高为1，由平面几何知识知底面边长为， 体积为，选C 19.(本小题满分12分) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 ABCD,,BC=6. (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求二面角的大小. 解法一：（Ⅰ）平面，平面．． 又，． ，，，即． 又．平面． （Ⅱ）过作，垂足为，连接． 平面，是在平面上的射影，由三垂线定理知， 为二面角的平面角． 又， ， ， 又，，． 由得． 在中，，． 二面角的大小为． 解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系， 则，，，，， ，，， ，．，， 又，平面． （Ⅱ）设平面的法向量为， 则，， 又，， 解得 。 平面的法向量取为， ，． 二面角的大小为． （2008年）9．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（ ） A．