旋转相似变换及本质特征.docVIP

旋转相似变换及其本质特征 江苏省泰州市朱庄中学 曹开清 一、旋转相似变换的概念 200年江苏省南京市中考试卷的第27题给出了一个新概念——旋转相似变换： 在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过缩放和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．（1）填空： ①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为( ， )； ②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为 ； （2）如图3，分别以锐角三角形的三边、、为边向外作正方形、、，点、、分别是这三个正方形的中心，试分别利用△与，与之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段与之间的关系． 解析：（1）①，60°；②． （2）经过旋转相似变换，得到，此时，线段变换为线段；经过旋转相似变换，得到，此时，线段变换为线段．因为，45°＋45°＝90°，所以，．实际上，这种旋转相似变换是位似变换和旋转变换的复合变换．为了便于说明，本文中旋转相似变换的研究对象仅限于三角形，旋转相似中心为三角形的一个顶点，旋转角满足0°180°． 二、任意三角形旋转相似变换的规律 图4~图8是将△ABC以顶点A为旋转相似中心作旋转相似变换到△ADE得到的一组图形，其中旋转角分别满足：①0°∠BAC；②＝∠BAC；③∠BAC 180°―∠BAC；＝180°―∠BAC；⑤180°―∠BAC180°． 图4 图5 图6 图7 图8连接BD、CE，设BD或延长线交CE于点F． 由△ABC∽△ADE，易得，∠BAD＝∠CAE，所以△ABD∽△ACE．其相似比，∠ABD＝∠ACE，于是∠BFC＝∠BAC． 因此，在这组图形中，△ABD和△ACE的旋转相似变换关系是其本质特征．三、几个特殊三角形旋转相似变换的规律1．等边三角形图9~13，是将等边△ABC以顶点A为旋转相似中心作旋转相似变换到△ADE得到的一组图形，其中旋转角分别满足：①0°60°；②＝60°；③60°120°；④＝120°；⑤120°180°， 图9 图10 图11 图12 图13 连接BD、CE，设BD或延长线交CE于点F，易得△ABD≌△ACE，∠BFC＝∠BAC＝60°． 因此，在这组图形中，将△ABD绕顶点A逆时针旋转60°后变换到△ACE是其本质特征．此外，如图14，当变换到点B、D、E在同一直线上时，则有CE＋AE＝BE．如图15，当变换到DC⊥BC时，则有CA2＋CD2＝CE2．如图16，当变换到点C、D、E在同一直线上时，则有AD＋CD＝BD等等． 图14 图15 图162．等腰直角三角形图17~19，是将等腰直角△ABC（顶角为A）以顶点A为旋转相似中心作旋转相似变换到△ADE得到的一组图形． 图17 图18 图19 连接BD、CE，设BD或延长线交CE于点F易得△ABD≌△ACE，∠BFC＝∠BAC＝90°，即BD⊥CE． 因此，在这组图形中，将△ABD绕顶点A逆时针旋转90°后变换到△ACE是其本质特征． 3．等腰三角形图20~22，是将等腰△ABC顶角A为以顶点A为旋转相似中心作旋转相似变换到△ADE得到的一组图形． 图20 图21 图22 连接BD、CE，设BD或延长线交CE于点F，则有△ABD≌△ACE，所以∠ABD＝∠ACE，于是∠BFC＝∠BAC＝． 因此，在这组图形中，将△ABD绕顶点A逆时针旋转角后变换到△ACE是其本质特征． 此外，如图22，当变换到BD平分∠ABC时，设BD与AC交于点G，则有线段FC是线段FG和FB的比例中项． 上述个规律可以帮助我们判断在一个图形中是否存在三角形旋转，从而利用旋转知识解决问题，下面举例说明： 例1 如图23，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，四边形AEFD的面积． 图23解析：根据已知条件，△BDF可以看成是△ABC绕点B逆时针旋转60°形成的，于是△BDF≌△BAC．同理可证△CEF≌△CAB．可得四边形AEFD是平行四边形，∠DAE＝150°，所以四边形AEFD的面积