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 第七章 共形映射 第7.3节 黎曼定理 最大模原理： 最大模原理： 注解： 最大模原理的推论 施瓦茨引理： 施瓦茨引理的证明： 施瓦茨引理的证明： 施瓦茨引理的证明： 注解： 共形映射的基本问题 问题一：对于给定的区域D和定义在D上的解析函数 w=f(z)，求象集G=f(D)，并讨论f(z)是否将D保形地映射为G； 问题二：给定两个区域D和G，求一个解析函数w=f(z)，使得f(z)将D保形地映射为G； 问题二一般称为基本问题，我们一般用单位圆作为一个中间区域。 图 图 共形映射的存在唯一性 共形映射实例： 例1： 例1图： 例1： 例2： 例2图： 例2： 例3： 例3图： 例3： 例3： 例4： 例4： 例4图： 例4： 例4： 例5： 例5图： 例5： 例5： It’s The End！ Thank You！ 因此，我们得到把以给半带域保形映射成w1平面的上半平面的单叶函数，不过这时 分别被映射成 作分式线性函数，把上述三点分别映射成w=-1,0,+1， 最后得到所求的单叶函数： 例5、在z平面的上半平面上，沿虚轴作一长h为的割线。求作一个单叶函数，把上述半平面去掉割线而得的区域保形映射成w平面上的上半平面。 解：首先作映射，把割线去掉，使已给区域的全部边界都变到w平面的实轴上。为此，用在上述区域内的单叶解析函数 把z平面的第一及第二象限分别映射成w‘平面的 上半平面及下半平面。这时射线AD被映射成w‘ 平面上正实轴的上沿，DC被映射成从0到h2的线 段的上沿，CB被映射成这条线段的下沿，BA被 映射成正实轴的下沿，于是z平面上已给区域被 保形映射成w平面除去射线 而得的区域。显然，函数， 把w平面的上述区域映射成w1平面上除去正实轴所得的区域；而函数 又把这一区域映射成w平面上的上半平面，其中开方应理解为在正实轴的上沿取正值的一个解析分支。 结合以上讨论，我们得到所求的单叶函数是： Complex Function Theory Department of Mathematics 章 * * Department of Mathematics 最大模原理及施瓦茨引理也是解析的基本性质之一，它在复变函数论中有大量应用。 定理6.1 如果函数w=f(z)在区域D内解析，并且|f(z)|在D内某点达到最大值，那么f(z)在D内恒等于常数。 证明：由定理1.3，假定f(z)在D内不恒等于常数，那么D1=f(D)是一个区域。 设|f(z)|在D的内部z0 达到最大值。显然， 而且w0必有一个充分小的邻域包含在D1内。 于是在这个邻域内可以找到一点w满足 从而在D内有一点z满足w=f(z)以及 这与所设矛盾。因此f(z)在D内恒等于常数。 注解1、此定理表明，在一个区域内不恒等于常数的解析函数，其模不可能在这个区域内达到最大值； 注解2、此定理的结论具有非常明确的物理意义。 注解3、此定理是复变函数论的基础定理之一，证明方法非常多，我们的证明方法是其中较简单的一种。 系6.1设D是一个有界区域，其边界为有限条简单闭曲线C。设f(z)在D及其边界组成的闭区域上连续，在D内解析，并且不恒等于常数。设M是|f(z)|在上的最大值，即f(z)在闭区域上的最大模，那么f(z)在边界C上而且只在边界C上达到最大模。 证明：显然。 引理6.1设f(z)是在开圆盘|z|1内的解析函数。设f(0)=0，并且当|z|1时，|f(z)|1。在这些条件下，我们有 （1） 当|z|1时， （2） 、 （3） 、如果对于某一个复常数 或者如果|f(0)|=1，那么在|z|1内 其中 其中 是一个复常数，并且 。 证明：由于f(0)=0，f(z)在|z|1内有泰勒级数 其中 因为当|z|1时，|f(z)|1，所以对于|z|=r(0r1)，我们有 由最大模原理，当 其中 在|z|1内解析。 由最大模原理，当 时，仍然有 令 于是当0|z|1时， 即 由于f(0)=0，当z=0时，上式成立，我们就得到引理中的结论(1)；（2）的结论也显然成立。 令 ，我们就得到：当|z|1时 设在某一点 那么，或者|g(z)|在z0达到它的最大模1。 或者设|f(0)|=1，那么我们有|g(0)|=| f(0)|=1，即在|g(z)|在0达到它的最大值1。因此，由极大模原理，在|z|1内， 其中 其中 是一个模为1的复常数。 注解1、此引理表明，设f(z)在|z|1内解析。设在映射w=f(z)下，|z|1的象在|w|1内，并设f(0)=0，那么 （1）|z|r