复变函数02.pptVIP

第二节 解析函数的充要条件 ?用函数解析的定义判断函数的解析性 往往比较困难；要判别一个函数在某 个区域内是否解析，关键在于判别函 数在此区域内是否可导。但是，要判 别一个函数可不可导，并且求出导数， 只根据导数的定义，这往往是很困难 的.因此，需要寻找一个简单的方法. ?函数可导的充要条件 ?定理 设 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域D内有定 义，则f(z)在D内一点z = x + iy可导的充 要条件是: u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)可微， 且满足柯西－黎曼方程(C－R方程). ?证明 必要性 设 f(z)在D内一点z=x+iy可导，则 其中? (?z)?0 (?z?0).变形得 由二元函数可微的定义知, u(x,y)与v(x,y) 在点(x,y)可微，且满足方程 即满足柯西－黎曼方程. 充分性 由于u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微 其中?1,?2,?3,?4当?x?0, ?y?0时趋于零. 将C－R方程代入上式 上式两边同除 ?z 得 由于?z?0时，上式的最后两项趋于零. ?推论 若u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)的偏导 数连续且满足C－R方程，则f(z)可导. ?函数解析的充要条件 ?定理 函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域 D内解析的充要条件是: u(x, y)与v(x, y) 在 D内可微，且满足C－R方程 ?根据函数在区域内解析的定义和函数可 导定理，可得判断函数在区域 D内解析 的一个充要条件. ?若 f(z) 在区域D内不满足C－R方程，则 f(z)在区域 D内不解析； ?若 f(z) 在区域D内满足C－R方程，并且 u与v具有一阶连续偏导数(因而u与v在区 域D内可微)，则f(z)在区域D内解析. ?例题 ?例 判别下列函数的解析性 . 虽然它们均为连续函数, 但不满足C－R 方程，所以 在复平面内处处不可 导，处处不解析. ?解 (1) , 则u(x,y) = x, v(x,y) =－y 由于上面的四个偏导数都是连续的，但仅 当x = y = 0时满足C－R方程，所以函数仅 在z = 0 处可导，在复平面处处不解析. 由于上面的四个偏导数连续，所以在复平 面内处处可导，处处解析，其导数: ?例 求a, b, c, d 使 f(z)在复平面内处处解析. ?解 由于 ?例 ?小结 f(z) = u+iv 在区域 D内解析的判定 ?求出u与v的一阶偏导数, 判别它们在D 内是否连续且满足C－R方程; 若是, 则 f(z)在D内是解析函数. ?若f(z) 除变量外, 形式上与实函数相同 (不含复数的专用记号), 可以直接求导. 若在D内导数处处存在，则在D内解析. 第三节 初等函数 ?本节将把实变函数中的一些常用的初等 函数推广到复变量的初等函数，研究这 些初等函数的性质和它们的解析性 . ?指数函数 ?设复数 z = x + iy，则定义指数函数为 ?指数函数有下列性质： ?w = ez在整个复平面上解析, 且(ez)? = ez. ?模与辐角 ?乘法 ?w = ez 是以2k? i为周期的函数. ?对数函数 ?对数函数是指数函数的反函数. 若 ew = z (z?0) 则称复数w为复数 z 的对数函数, 记为 w = Ln z ?对数函数的主值与分支 设w = u + iv, 把它代入 ew = z = rei? 有 因为 u = ln|z| ，v = i Arg z 所以 w = Ln z = ln|z|+ i Arg z = ln|z| + i arg z + 2k? i ?结论 对数函数w =Ln z是一个多值函数， 并且每两个值之间相差2? i 的整数倍. 若记 ln z = ln|z|+ i arg z 则有 Ln z = ln z + 2k? i (k为任意整数) 称 ln z为Ln z 的主值. 对于每一个k，上 式为一单值函数，称为Ln z 的一个分支. 当z = x 0时，Ln z 的主值 ln z = lnx . ?例 求Ln 2，Ln(－1)的值及其主值. ?解 Ln2 = ln2 + 2k? i (k为整数) 主值为ln2.