南京大学数学物理方法02 复变函数的积分.pptVIP

分量形式：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), dz=dx+idy §2.2 柯西（Cauchy）定理 核心 — 什么样的复变函数，它的积分与路径无关 （一）单连通域情形 单连通域 在其中作任何简单闭合围线，围线内的点都是属于该区域内的点 单连通区域的Cauchy 定理 ：如果函数 f(z) 在闭单连通区域 中单值且解析， 则沿 中任何一个分段光滑的闭合曲线 c (也可以是 的边界l), 函数的积分为零。 如果 l 不包含? 点， 被积函数总解析,按柯 西定理， I=0; (2)如果 l 包含 ? 点, 又 要分两种情况： (a) n?0, 因被积函数 解析，故 I=0; (b) n0, 被积函数在 l 内有奇点 ? 用半径为 R 的圆周 C 包围 ? 点， 则 l+C 构成复连通区域，因此 原积分变成圆周 C上的积分， 在 C 上 故: §2.4 柯西（Cauchy）公式 解析函数是一类具特殊性质的函数，特殊性表现之一是，在解析区域各处的函数值并不相互独立，而是密切相关，这种关联的表现之一就是 Cauchy 积分公式。 一、单连通域情形 若 f(z) 在闭单通区域 上单值解析；l 为 的境界 线， 为 内的任一点，则有Cauchy 积分公式： 如果：f(z) 在 l’ 外部（绿色区域）解析，且当 |z|?? 时，f(z) ?0 (一致趋近)， 则： 解： (1) 如果 0 和 1 都不在C 中，则被积函数解析，因 此, 由 Cauchy 定理得 I=0; (2) 若仅 0 在 C 内, 函数 在 C 上及 C 包围的区域 解析，由 Cauchy 公式得 （3）若仅 1 在 C 内, 函数 在 C 上及 C 包围的区域解析， 由 Cauchy 积分公式，得到 (4) 若 0 和 1 都在 C 内，由 Cauchy 定理 而在 C0 上及C0 包围的圆内 f0(z) 解析，同样，在 C1 上及C1 包围的圆内 f1(z) 解析，故利用 Cauchy 积分公式，有上面的结果得 其中 D 为曲线 C 包围的区域。 例二、利用Cauchy 积分公式计算 积分 I, 其中 a?0, |a| ??, ?0: （2）若 |a| ?, 在圆 内解析，由 Cauchy 公式， 用类似方法可证 四、Cauchy 积分公式的两个推论 1.模数原理：设f(z)在某个闭区域上解析，则|f(z)|只能在 闭区域的边界L上取得极大值。 - 极大值只能分布在边界上。 2.刘维尔定理：设f(z)在全平面解析，且其模有限|f(z)|M， 则f(z)必为一常数。 把L变形为以z为圆心，R为半径的圆。 f(z)的导数为0,则f(z)必为一常数。 应用：利用柯西公式可求积分 — 求积分的一简便方法 解题要点： 对被积函数g(z)进行分析，确定其在积分回路L所围绕的区域内是否解析。若解析，则积分为零。 2. 若不解析，找到奇点a, 并将被积函数写成 如何求复平面上一闭合回路积分？ 3. 选取适当的n，使得 在围道L内解析： 4. 利用柯西公式的推广形式 C ? z=0 ? z=1 例一、计算积分 I, 其中 C 为不经过点 0 和 1 的正向曲线。 ? z=0 ? z=1 C1 C0 C C ? z=1 ? z=0 最后，我们有： ? ? C ?a 故 因为 在圆 内解析，由 Cauchy 公式， 解：令 则 （1）若 |a| ?, * * 第二章 复变函数的积分（3学时） 2.1 复变函数的积分 2.2 柯西定理（重点） 复变函数 2.3 不定积分 复变函数 不定积分 2.4 柯西公式（重点） 第二章 作业 Good News 本章无作业 ? ? ? ? A ? ? x y o ? B z0 zn l z1 zk-1 zk ?k ?1 ? 若 §2.1 复变函数的积分(路积分） 定义: 在复平面分段光滑曲 线l 上的连续函数 f(z)，作和 存在且与?k的选取无关, 则这个和的极限称为函数f(z)