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一道数学题的求解及推广 ——问题教学法之一瞥 九江同文中学 屈章建 著名的数学教育家、现代“问题解决”研究的先驱波利亚说：“中学数学教学首要的任务就是加强解题的训练。”数学问题的提出与解决是引领广大学生迈入数学殿堂的必经之路。因此，一位合格的数学教师的首要任务就是不断地提出各种适合学生发展水平的问题，让学生去思考与探究，并适时适度地帮助学生来完成问题。一次，一名学生在课间向我提出下面的问题，我敏锐地判断出这是一道有着广阔数学背景并值得充分挖掘的好题，于是没有急于告诉该同学答案，而是当即把它布置为思考作业，并于第二天在课堂上当堂讲评。 问题如下：已知，求函数的最小值. 解法一：判别式法。 设 则 两边平方： 即 两边平方整理得： ( * ) 或（舍去） 将代入( * ) 式，得 因此，当且仅当 时， 。 这是一种容易被广大师生忽略的方法，尽管有运算量大的缺点，但这一方法的作用是难以替代的，对学生今后的学习尤其是圆锥曲线的学习有着非常重要的意义。 解法二：利用已知条件，减少变量个数，数形结合，从而得到如下解法： = 函数的值可以看作是动点到定点与的距离的和，又点与在轴同侧，动点到定点与它到的距离相等。因此，的最小值是定点与间的距离。作图如下： 故（当且仅当 时取到）. 将解法二简化，即可得到如下解法。 解法三: 如图 =13. 当与相似,或或时取等. 解法四: 设, , 由||+||||得 ||+|||(,1+4)| 即=13. (当且仅当即 时取等) 以上解法，均是课堂上同学们讨论获得的，我加以适当的启发、引导、归纳、总结。随着同学们讨论的深入，课堂气氛越发活跃，此时我将原问题加以推广： 已知，，求的最小值. 很快，有同学仿照解法四得到如下解法。 设，， 由得 | （当且仅当时取=） 通过这堂课的教学实践，我深切地体会到问题教学法的种种好处：（1）良好的问题情景能有效地开掘创造性思维潜力，教学活动中?学生和教师双方的主性都得到发挥培养学生主动参与、团结协作精神，增进师生之间的情感交流，培养学生形成自觉运用数学基础知识、基本技能和数学思想方法分析问题、解决问题的能力和意识。 4 1 1 E D C B A 0 12 -1 4