数值分析5-2.docVIP

§5.4 数值微分（Numerical Differentiation） 问题的提出 在微积分里，求函数的导数一般来说是容易办到的，但有时比复杂的多. 而当函数仅由表格形式给出时，要求出就不那么容易了.根据函数在一些离散点上的函数值来推算它在某点处的导数的近似值的方法称为数值微分. 最简单的数值微分公式是用前向差商近似替代导数，即 类似地，也可用后向差商近似替代导数，即 或者用中心差商近似替代导数，即 在几何上这3种差商分别表示弦，， 的斜率.将这3条弦同过点的切线相比较，一般来说，弦的斜率更接近于过的切线的斜率.因此，就精度而言用中心差商替代导数更为可取.故称 = 为求的中点公式. 一般地，不同的数值微分公式导出不同的差分方程，因此如何构造数值微分公式及研究它们的性质是很有意义的.这一节主要介绍构造数值微分法的原理，即展开原理、插值原理和三次样条原理. 二、展开法 在这里我们将用公式推导上面的差商、中点公式，给出二阶导数的显式数值微分公式，并建立一阶、二阶导数的具有精度隐式数值微分公式. 由公式，将，在点展开成5次公式，则 =+++ +++ （1）=-+- +-+ （2）公式（相当于在上式中取2项），通过简单的整理得到： =-，及 =+， 若舍去右端的二阶导数项（称为截断误差），则有 （forward-difference formula） （backward-difference formula）=--+ 用（1）+（2）消去一阶、三阶、五阶导数项，整理得： =-+ 舍去后面的高阶导数项，得到 （） ≈ （6） 公式（3）（4）（5）（6）称为一阶、二阶导数的显式数值微分公式.从公式及其截断误差看出：理论上步长越小计算精度越高，但是从计算角度看，越小，与越接近，直接相减会造成有效数字的严重损失.如果考虑舍入误差，假设与分别有舍入误差，，令 ，则数值计算产生的误差为： =≤≤ 从中可以看出，随着的越来越小，误差将变得越来越大，这是一个病态问题.因此，在实际计算时，步长不宜取太小，也不宜取太大.在中心差商公式中，可以证明其截断误差上界为，其中.因而其舍入误差和截断误差的和为：  利用一元函数的微分学不难得到使达到最小的最优步长为： = 如：函数=在区间[1，2]上用中心差商公式计算其一阶导数时，如果函数值给出4位小数，即=，则可以算出：=，从而最优步长 ==0.0381 下面我们利用公式构造具有精度的关于一阶、二阶导数的隐式数值微分公式. 1.一阶导数的隐式公式 已知节点处的函数值，，…，和两端的边界条件，，求.在点处，利用公式 =-+及 =-+ 则 =-+ 略去误差项，用近似表示，并记=，=（部分，每部分的长度记为，则=）=- 简单整理得： +4+= 这是一个有个方程，但有个变量，，…，的线性方程组.如果加上边界条件： =，=，且记（）的一阶导数隐格式方程组为： = 简写为，其中.可以看出系数矩阵是严格对角占优的，因而其解存在唯一.用追赶法求解是相当稳定的.这就是求解各节点上一阶导数近似值的隐式方法. 2.二阶导数的隐式公式 如果已知节点处的函数值，，…，和两端的边界条件，，利用在节点处的二阶导数表示式 =-+ 可以得到二阶导数的隐式求导公式. 记的近似值为，在上式中舍去余项，得到 =- 整理得： = 注意到边界条件=，=，用表示二阶差分，则具有精度的二阶导数隐格式方程组为： = 将方程组简写为，其中，系数阵中元素同样是严格对角占优的，方程组的解存在唯一.这就是求解个节点上二阶导数近似值的隐式方法. 书上页例5.4.2给出了求函数=在节点=1.74+（）在节点处的一阶、二阶导数的近似值，通常要求函数 关系是明确的.对于所谓的列表函数的求导，如果要提高精度则需要另想他法. 设函数的插值表为： … … 应用插值原理可以建立插值多项式作为的近似.由于多项式求导比较容易，因此可取作为的近似值，这样建立起来