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选区划分模型 选做的题号：B 编号 04006 组长：王希路 组员：俞明强 组员：姜凌云 1 选区划分模型 摘要 本文对于首都划分选区这一问题，建立了四个符合所有划分要求的划分模型，使得 Mevo 获得最多的席位数。 模型一：我们将划分目的转化为目标函数，将划分要求限制转化为约束条件，进而 用数学的语言将原问题转化为线性规划问题加以求解。 （1）得出只能划分为6 个选区，且有唯一最优划分 （1，2 ，5 ）、（3，4 ）、（6，7 ， 8 ）、（9，12）、（10，11）、（13，14），在这种划分下Mevo 获得5 个席位。 （2 ）对模型进行了灵敏度分析，得出街区 1，2 ，5 投票给 Mevo 的选民数的波动 对选区划分最优解有较大影响； （3 ）对模型进行了可靠性分析，得出Mevo至少有99%的把握获得5个席位。 （4）对模型进行了适应性分析，得出改变模型假设中的选举原则后问题的结果； 模型二：将六个选区看成集合，街区当作元素，通过集合约束条件及街区总人数优 先的原则将不可能划分为同一选区的部分街区归入不同的集合，再利用模糊数学和局部 优化算法，使其余元素归入集合中，求出一个最优解。 模型三：每个街区看成一个点，街区相邻用直线相连，形成一个图。寻找从一个顶 点出发，每点恰通过一次能回到出发点的路径。引入哈密顿图优化算法，利用遍历顶点 的必经路径简化图形，大大减少时间复杂度。 因为在闭合回路中每个顶点只出现一次，故通过切割遍历回路化分选区，使选区满 足人数条件，筛选能够划分为6 个选区的遍历路径。计算出满足条件所划分选区的席位， 比较席位的多少，得出最优解。 [1] 模型四：基于模拟退火 的方法，参考 q-state Potts 物理模型系统针对划分要求建 立各能量方程，最后得出街区划分的总能量方程，通过参数控制，求得总能量的最小值， 得出最优解，缓解了随街区增加CPU 时间指数增加的问题，在较小的CPU 运算时间下， 获得一定结果的精度，适合街区较多的情况。 模型一利用线性规划模型的经典算法，穷举出可能的方案，适合n 较小的问题；模 型二运用了集合的思想，提出有哪些信誉好的足球投注网站数值的局部优化算法，与模糊区间的概念，使时间复 杂度大大降低；模型三通过哈密顿图有哪些信誉好的足球投注网站可能的路径，并对遍历算法复杂的哈密顿图算 法进行了简化，使问题迅速到求解。模型四参考模拟退火算法，在结果的精度与 CPU 时间复杂度中寻求平衡。模型二、模型三、模型四均得出与模型一相同的结果。 关键词： 线性规划 局部优化算法 哈密顿图 模拟退火 时间复杂度 2 1. 问题重述 选区划分问题是指，如何将一个较大的行政区域 （如县或市）依照一定规则，划分 为数个选举区。 在政治学的研究中，选区划分并没有一个固定原则可循，不同的历史背景、社会 结构及政治生态均会引响划分的结果，所以各国均有不同的划分原则。但一般来说，选 区划分依然有些规则要遵循。例如，各选区的选民数应该相近，以符合票票等值的原则。 又选区的界线应该简洁而连续。 从本题的要求出发，分析相关数据，参考相关方法，建立选区划分的数学模型，由 此对首都的 14 个街区进行划分，使 Mevo 得到的席位数最多。特别注意指出模型中的 优点与不足之处及使用范围。 2. 问题分析 选区划分并没有一个固定原则可循，不同的历史背景、社会结构及政治生态均会引 响划分的结果，所以各国均有不同的划分原则。但一般来说，选区划分依然有些规则要 遵循。例如，各选区的选民数应该相近，以符合票票等值的原则。又选区的界线应该简 洁而连续。 但在为了某一党派利益，不考虑公平性的情况下，选区划分除一般公认的划分原则 外，如选区总人数在多少范围之内，选区中的街区相邻等条件外，还要考虑某一政党可 以得到的席位数。综合考虑这些因素成为构建选区划分模型关键。 建