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2014考研数学备考重点解析——第二类曲线积分的计算 1. 计算方法 1)直接法; 2)格林公式 . 3)补线用格林公式 4)利用线积分与路径无关 （1）判定:. （2）计算: 改换路径; 利用原函数,其中 ,求原函数方法:①偏海文钻石卡视频积分;②凑微分. 2.两类线积分的联系: . 【例1】计算.其中为从到的曲线段. 【解析】 由于，则本题中的线积分与路径无关. 解法1 改换路径，点为点。 原式 . 也可将路径改换为另一折线、，其中点为点，则 原式 . 解法2利用原函数，由于 则 . 故 . 【例2】设为椭圆沿逆时针方向,则 . 【解析】由格林公式得 其中是由围成的椭圆域，为其面积，海文钻石卡视频该椭圆方程可改写为，则其面积. 故 . 【例3】计算,其中为正常数, 为从点沿曲线到点的弧. 【解析】补线段，则 ， 其中为与围成的半圆域，则 【例4】计算,其中 (1)为的正向; (2)为的正向. 【解析】（1），由格林公式得 （其中为曲线所围圆域） . （2），此时不能直接用格林公式，因为在点条件不满足. 因此，作以为中心的圆且取顺时针方向，在和大学考研围成的环形域上用格林公式得 ， 即 . 则 （这里用了格林公式） . 注：由本题可看出，对线积分，除原点 外，有连续一阶偏导数，且. 此时有以下结论： 1）沿任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分为零. 2）沿任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分均相等. 事实上，线积分 都属于 这个类型. 【例5】计算,其中弧为连结与点的线段的下方的任意分段光滑简单曲线,且该曲线与大学考研线段所围图形面积为2, 【解析】 解法1 补线段，则 直线的方程为：，则 故 解法2 , 其中 故 【例6】计算,其中是曲线 从轴正向往z轴负向看去为顺时针方向。 【解析】 解法1 直接法 曲线的参数方程为：，则 解法2 斯托克斯公式; 解法3 化为平面线积分.将代入原积分得 （为）