11.22空间向量在立体几何中的应用.docVIP

空间向量在立体几何中的应用 高中立体几何引入空间向量，把平面向量推广到空间，实现了几何问题代数化。我们可以利用空间向量证明平行与垂直问题，求二面角和空间距离。这样可以避开立体几何中使用“形到形” 复杂的推理方法。空间向量为处理几何问题提供了新的视角，是高考中重点考查的内容。通过使用向量方法学习立体几何，可使学生较牢固地掌握向量代数工具，从而丰富学生的思维结构和运用数学的能力。 1．空间直角坐标系： 　在空间选定一点引三条互相垂直且有相同长度单位的数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面； 　作空间直角坐标系时，一般使（或），； 　在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系。规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系． 2．空间直角坐标系中的坐标： 如图给定空间直角坐标系 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组叫在空间直角坐标系中的坐标， 记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标． 3. 空间向量的直角坐标运算律： ①若，，则， ，， ， ， 。 ②若，，则。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 4.模长公式：若，， 则， 5. 夹角公式：。 6. 两点间的距离公式：若，， 则， 或 空间向量法解决立体几何问题 一、引入两个重要空间向量 1、直线的方向向量 直线的方向向量： 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量. 如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是 2.平面的法向量 如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂 直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量 在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图2,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a = 0且n·b = 0,则n⊥ α 求平面的法向量的坐标的步骤: 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标. 二、立体几何问题的类型及解法 1、判断直线、平面间的位置关系； (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系; 2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。 以下是平面的法向量。 1、直线与平面平行与垂直的判定 （1）． （2）． 2、平面与平面平行与垂直 （1）． （2）． 3、立体几何中的角 （1）．异面直线所成的角 （2）.平面与平面所成的角 (图一) 或 （图二） （图一） （图二） 4、立体几何中的各种距离 （1）．点到平面的距离 由 M （2）.异面直线的距离