常微分方程3.1-3.2.pdfVIP

第三章 初等积分法 在微分方程发展的初期，即从十七世 纪后期Newton和Leibnitz发明微积分以后 直到十八世纪末，研究的主题是，尽可能 设法把当时遇到的一些类型的微分方程的 求解问题化成积分（求原函数）的问题。 这种方法，习惯上称为初等积分法。 1 • 这些方法和技巧是由Newton、Leibnitz、 Euler和Bernoulli兄弟（Jacob Bernoulli和 Johann Bernoulli）等人发现的。虽然 Liouville在1841年证明了大多数微分方程不 能用初等积分方法求解。但这些方法至今仍 不失其重要性。这是因为，能用初等积分法 求解的微分方程，虽然是特殊类型，但确是 实际应用中常见和重要的；另外这些方法的 思想和技巧对我们处理相关学科的其他问题 也是有帮助的. 2 3.1.1 可分离变量的微分方程 一阶微分方程的正规形式： dy  f x y y f (x ,y ) 或 ( , ) dx 可用分离变量法解的一阶方程的一般形式 dy ()x ()y (1) dx 具体解法 分离变量：设( )0y  3 dy (x)dx ()y 两边同时关于 x 求不定积分： dy (x )   (x)dx ( (y ))x 写出通解：(结果含有一个任意常数) x( ) x( )C   ()y y y ® 需要注意 的零点 0有可能 是方程的解，不可遗漏，见以下分析。 4 y (sinx )(siny  ) . 例1 解方程 dy 解 分离变量  sin , xdx sin y  cscy dy sin xdx ln| cs