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特征函数及其应用 摘 要 在概率论和数理统计中 求独立随机变量和的分布问题是经常遇到的，, 经过人们不断的探索和研究，终于发现了另一个重要工具——特征函数， 它是处理许多概率论问题的有力工具，它能把寻求独立随机变量和的分布 的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算，本文介绍了特征函数的基本概 念、主要性质以及特函数的一系列应用. [[[[关键词 随机变量 特征函数 积分]]]] I ABSTRACT In probability theory and mathematical statistics, find the distribution of independent random variables and the problem is often encountered after people continue to explore and research, finally found another important tool - characteristic function, it is to deal with many problems of probability theory powerful tool, it can seek independent random variables and the distribution of convolution(integral computation)intoa multiplication, thisarticle introducesthe basicconceptsof characteristic function, themain characterand thespecialfunctionof thenumber ofapplications. [Key Words]Randomvariable,Characteristicfunction,Integration II 目 录 一、引言1 二、特征函数的定义2 三、常用分布的特征函数2 四、特征函数的主要性质3 五、特征函数的应用6 六、结论10 参 考 文 献11 致 谢12 III 特征函数及其应用 一、引言 随机变量是数学研究中经常遇到的一项重要内容。随机变量的分布函 数则可以全面的描述随机变量的统计规律，但是，有时候分布函数或分布 密度这些工具使用起来并不方便，如求独立随机变量和的分布密度，用卷 积求太烦琐和复杂，这里将从介绍特征函数的定义、性质出发, 介绍如何用 特征函数更方便、优越的表示随机变量的分布, 并在随机变量的基本性质引 导下, 讨论并阐述特征函数的各种应用. 特征函数也是概率论中研究极限 定理的重要工具。 . 1 二、特征函数的定义 设X是一个随机变量，称 itX ϕ(t)= Ε(e ) , − ∞ t +∞, 为X的特征函数. itＸ itX 因为e ＝１，所以Ε(e )总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是 存在的. 当离散随机变量X的分布列为p = P(X= x ),k=1,2,3,K，则X的特征函数 k k 为