高中必修1-5错误解题分析系列-《6.4空间角与距离》.docVIP

§6.4空间角和距离 4．球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长，关键在于画出经过两点的大圆以及小圆. 5．要注意距离和角在空间求值中的相互作用，以及在求面积和体积中的作用. 三、经典例题导讲 [例]　平面外有两点A,B，它们与平面的距离分别为a,b，线段AB上有一点P，且AP:PB=m:n，则点P到平面的距离为_________________. 错解：. 错因：只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况. 正解： . [例]与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有______个. 错解：4个. 错因：只分1个点与3个点在平面两侧.没有考虑2个点与2个点在平面两侧. 正解：7个. [例]一个盛满水的三棱锥形容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ） A. 　　　B. 　　　C. 　　　 D. 错解：A、B、C.由过D或E作面ABC的平行面，所截体计算而得. 正解：D. 当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多 最多可盛原来水得1－ [例]斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB、AC都成450角，求这个三棱柱的侧面积. 错解：一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过BC作平面与AA1垂直于M”；三是由条件“∠A1AB=∠A1AC∠AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分线”不给出论证. 正解：过点B作BM⊥AA1于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=450，MA为公共边，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=900，∴AA1⊥面BHC，即平面BMC为直截面，又BM=CM=ABsin450=a，∴BMC周长为2xa+a=(1+)a，且棱长为b，∴S侧=(1+)ab [例]已知CA⊥平面α，垂足为A；AB α，BD⊥AB，且BD与α成30°角；AC=BD=b，AB=a.求C，D两点间的距离. 解?: 本题应分两种情况讨论： （1）如下左图.C，D在α同侧：过D作DF⊥α，垂足为F.连BF，则于是. 根据三垂线定理BD⊥AB得BF⊥AB. 在Rt△ABF中，AF= 过D作DEAC于E，则DE=AF，AE=DF=.所以EC=AC-AE= b-=.故 CD= (2)如上右图.C，D在α两侧时：同法可求得CD= 点?评: 本题是通过把已知量与未知量归结到一个直角三角形中，应用勾股定理来求解. [例] （06年湖北卷）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，. （1）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为； （2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于. 并证明你的结论. 解：解法一（1）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，,连结OG，因为 PC∥平面，平面∩平面APC＝OG, 故OG∥PC，所以，OG＝PC＝. 又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面， 故∠AGO是AP与平面所成的角. 在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝. 所以，当m＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为. （2）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为 D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1， 又AP平面ACC1A1，故 D1O1⊥APD1O1在平面APD1的射影与AP垂直。 解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1) 所以 又由知，为平面的一个法向量。 设AP与平面所成的角为，则。依题意有解得。故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为。 （2）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为，则Q(x，1－，1)，。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1Q⊥AP即Q为A1C1的中点时，满足题设要求。 [例]在梯形ABCD中，∠ADC=90°，AB∥DC，AB=1，DC=2，，P为平面ABCD外一点，PAD是正三角形，且PA⊥AB， 求：（1）平面PBC和平面PAD所成二面角的大小； （2）D点到平面PBC的距离． 解: （1）设AD∩BC=E，可知PE是平面PBC和平面PAD的交线，依题设条件得PA=AD=AE，则∠EPD=90°，PD⊥PE 又PA⊥AB，DA⊥AB，故AB⊥平面PAD． ∵ DC∥AB，∴ DC⊥平面PAD． 由PE⊥PC得PE⊥PD，∠DPC是平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角．，DC=2，tan，．