高考专题复习：空间向量和立体几何(王业康)2011.4.docVIP

上海戴氏教育集团宜春校区一对一专项辅导 高考专题——空间向量与立体几何 整理：吴小宾 时间：2013年4月16日 专题要点 1．利用向量证明平行问题 （1）直线与直线的平行：设是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为，那么。根据实数与向量积的定义：。 （2）平面与平面平行可以转化两个平面的法向量平行：设两个不重合的平面的法向量分别为，那么。 （3）直线与平面平行可以转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直：设直线在平面外，是的一个方向向量，是平面的一个法向量，那么。 另外，平面表示以为方向向量的直线与向量平行或在平面内，因此也可以由共面向量定理证明线面平行问题。 2．利用向量证明垂直问题 （1）线线垂直：设分别为直线的一个方向向量，那么； （2）线面垂直：设直线的方向向量为，平面的法向量为，那么。 3．利用向量求解角度问题 （1）异面直线所成的角：利用异面直线的方向向量的夹角来求异面直线所成的角。向量的夹角范围是，而两异面直线所成角的范围是，应注意加以区分。 （2）直线与平面的夹角：利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求直线与平面的夹角。有：，。 （3）二面角：设分别是二面角的面的法向量， 则 ＜＞就是所求二面角的平面角或其补角的大小（利用具体图形判断）。 4．利用向量求解距离问题 立体几何中涉及到距离的问题比较多，如两点的距离、点与线的距离、点与面的距离、线与面的距离、两异面直线的距离问题等。此部分若用向量来处理，则思路较为简单。 点到平面的距离：设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝. 中，底面四边长为1的菱形， , , ,为的中点，为的中点 （1）证明：直线； （2）求异面直线AB与MD所成角的大小； （3）求点B到平面OCD的距离。 方法一（综合法）略 方法二(向量法) 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系 , (1) 设平面OCD的法向量为,则 即 取,解得 ， (2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为 (3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为 例2：如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点. （1）证明：AE⊥PD; （2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值. （1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形. 因为 E为BC的中点，所以AE⊥BC. 又 BC∥AD，因此AE⊥AD. 因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE. 而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD， 又PD平面PAD. 所以 AE⊥PD. （2）（理）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH. 由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角. 在Rt△EAH中，AE=，所以 当AH最短时，∠EHA最大， 即当AH⊥PD时，∠EHA最大. 此时tan∠EHA= AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，PA=2. 由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点， 所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0）， D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（）， 所以 设平面AEF的一法向量为 则因此 因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以 BD⊥平面AFC，故 为平面AFC的一法向量. 又 =（-），所以 cos＜m, ＞= 因为 二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为 例3：正四棱锥中，为底面中心，为中点，，到平面的距离等于（1）求斜高的长；（2）求平面与侧面所成锐二面角的小； （1）建立空间坐标系（如图）底面边长为1，，，，． 设，平面的一个法向，则，，， 而，．解得斜高 （2），由对称性，面的一个法向量为 设平面的一个法向量，， 解得∴． 设所求的锐二面角为α，则． 例4：已知平面，平面，为等边三角形，，为的中点求证：平面；求所成角的设，建立如图所示的坐标系，则 为的中点，. ?(1) 证明 ， ∵，平面平面?(2) 设平面的法向量为由可得：，取. 又，设和平面所成的，则 .∴直线和平面所成角的. 巩固练习：