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函数有关问题及其典型例题解析 函数定义域问题： 函数的定义域：使得函数解析式有意义的自变量x的取值范围。 例题： 1、求下列函数的定义域： ⑴ ⑵ ⑶ 2、设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ _；函数的定义域为________； 3、若函数的定义域为，则函数的定义域是 ；函数的定义域为 。 知函数的定义域为，且函数的定义域存在，求实数的取值范围。 答案：1、（1） （2） （3） 2、； 3、 4、 函数值域问题 1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1. 求函数的值域。解： ∴显然函数的值域是：2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例2. 求函数的值域。解：将函数配方得：由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。解：两边平方整理得：（1） ∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∴∴代入方程（1）解得： 即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例4. 求函数值域。解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例5. 求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：即 ∴即 解得：故函数的值域为6. 函数单调性法例6. 求函数的值域。解：令 则在[2，10]上都是增函数所以在[2，10]上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：例7. 求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然y0，故原函数的值域为7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作 例8. 求函数的值域。解：因即故可令∵∴∴故所求函数的值域为例9. 求函数的值域。解：原函数可变形为：可令，则有当时，当时，而此时有意义。故所求函数的值域为例10. 求函数，的值域。解：令，则 由 且可得：当时，，当时，故所求函数的值域为。例11. 求函数的值域。解：由，可得故可令 ∴当时，当时，故所求函数的值域为：8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例12. 求函数的值域。解：原函数可化简得：y=|x-2|+|x+8|上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B(-8)间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=|x-2|+|x+8||AB|=10故所求函数的值域为：例13. 求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，故所求函数的值域为例14. 求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。即：y=|AP|-|BP|由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例13，14可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例13的A，B两点坐标分别为：（3，2），(-2,-1)，在x轴的同侧；例1