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求解偏微分方程的几种特殊方法.pdf
求解偏微分方程的几种特殊方法(PDE 课程小论文) 程哲 P 求解偏微分方程的几种特殊方法 程哲 P （中国科学技术大学数学系， 合肥， 230026） 摘要：经过一个学期偏微分方程课程的学习，我们掌握了几种求解初等拟（半）线性方程， 特别是三种典型方程的方法，如特征曲线法、反射法、降维法、分离变量法、特征函数展开 法、求解非齐次方程的 Duhamel 原理等。此外，我们通过学习还掌握了求解波动方程的 D＇ Alembert公式，求解高维波动方程的Kirchhoff公式和Poisson公式，求解位势方程的Green 公式等等。这些经典方法的综合运用可以求解很多初等偏微分方程，故而是基本而重要的。 本文还将总结作者了解的几种求解偏微分方程的特殊方法，它们是：级数法，Laplace 变换 法，Fourier变换法。 关键词：偏微分方程 级数法 Laplace 变换 Fourier 变换 1. 级数法求解偏微分方程 1.1波动方程 Cauchy 问题的级数解法 1.1.1 问题引入 我们以三维波动方程的初值问题(P)为例： ⎧ 2 u −a (u +u +u ) 0, (1) ⎪tt xx yy zz (P ) ⎨ u(x, y, z,0) =Φ(x, y, z), u (x, y, z,0) =Ψ(x, y, z) ⎪⎩ t 由叠加原理易知问题(P)可分解为两个问题的叠加： ⎧ 2 u −a (u +u +u ) 0, ⎪tt xx yy zz (I ) ⎨ u(x, y, z,0) 0, u (x, y, z,0) Ψ(x, y, z) ⎪⎩ t ⎧ 2 u −a (u +u +u ) 0, ⎪tt xx yy zz (II ) ⎨ u(x, y, z,0) Φ(x, y, z), u (x, y, z,0) 0 ⎪⎩ t 1 / 10 求解偏微分方程的几种特殊方法(PDE 课程小论文) 程哲 P 首先，受一维波动方程的 D＇Alembert 公式启发，我们可以假设问题(I ) 有如下形式的 解：
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